Question

10．我們知道同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）觀察與思考：如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD內(nèi)部，∠BPD、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠BPD=∠B+∠D，不必說明理由；
（2）猜想與證明：如圖2，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，利用（1）中的結(jié)論（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，設(shè)BF交AC于點M，AE交DF于點N，已知∠AMB=140°，∠ANF=105°．利用（2）中的結(jié)論直接寫出∠B+∠E+∠F的度數(shù)為75度，∠A比∠F大65度．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠B=∠1，∠D=∠2，再根據(jù)∠BPD=∠1+∠2即可得解；
（2）連接QP并延長，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解答；
（3）依據(jù)（2）中的結(jié)論、三角形的內(nèi)角和及三角形的外角和即可求得．

解答 解：（1）過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP∥CD，
∴∠B=∠1，∠D=∠2，
∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）如圖，連接QP并延長，
結(jié)論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
∠BPD=（∠BQP+∠B）+（∠DQP+∠D）=∠BQD+∠B+∠D．

（3）∵∠ANF=105°，
∴∠ENF=∠B+∠E+∠F=180°-105°=75°，
∵∠A=∠AMB-∠B-∠E，
∠F=180°-∠ANF-∠B-∠E，
∴∠A-∠F=∠AMB+∠ANF-180°=65°．
故答案為：∠BPD=∠B+∠D；75，65．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．