Question

14．如圖1，在△ABC中AD是高，點(diǎn)E在AC上，連接ED并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，已知AF=FE；
（1）若DF=AD=AE，求∠F的度數(shù)：
（2）如圖2，將直線FE沿EA方向進(jìn)行平移，EF交線段BD于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，若AE=AH=FH．
①求證：△ABC是等腰三角形：
②試判斷CE，HE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FAE=∠FEA，∠AED=∠ADE，由外角的性質(zhì)得到∠FAE=∠ADE=∠AED，由于∠F=∠FAD，于是得到∠ADE=∠F+∠FAD=2∠F，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FAE=∠FEA，∠AED=∠ADE，由外角的性質(zhì)得到∠FAE=∠ADE=∠AED，由于∠F=∠FAD，于是得到∠ADE=∠F+∠FAD=2∠F，根據(jù)三形的內(nèi)角和列方程求得∠F=36°，由AD⊥BC，根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=∠ADC=90°，于是得到∠HGD=18°，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠ABC=36°+18°=54°，求出∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=54°，即可得到結(jié)論；②由AF=EF，根據(jù)線段的和差得到AB+BF=HF+EH，由于AB=AC=AE+CE，等量代換得到AE+CE+BF=HF+EH，由于FH=AE，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AF=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠FAE=∠ADE=∠AED，
∵AD=DF，
∴∠F=∠FAD，
∵∠ADE=∠F+∠FAD=2∠F，
∴∠FAE=∠AED=2∠F，
∵∠F+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠F=36°；

（2）①∵AF=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵AH=AE，
∴∠AEH=∠AHE，
∴∠FAE=∠AHE=∠AEH，
∵AH=HF，
∴∠F=∠FAH，
∵∠AHE=∠F+∠FAH=2∠F，
∴∠FAE=∠AEH=2∠F，
∵∠F+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠F=36°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠AEH=72°，
∴∠DHG=72°，
∴∠HGD=18°，
∴∠ABC=36°+18°=54°，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=54°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
②CE+BF=EH．
∵AF=EF，
∴AB+BF=HF+EH，
∵AB=AC=AE+CE，
∴AE+CE+BF=HF+EH，
∵FH=AE，
∴CE+BF=EH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)三角形是內(nèi)角和等于180°列方程求得∠F的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．