Question

【題目】如圖，取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADE（含30°），將三角板ABC（含45°）繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角（0°＜α≤45°），試問：

（1）當(dāng)∠α=_____度時，能使圖2中的AB∥DE；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時（如圖3），則∠α=_____度；

（3）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)；

（4）當(dāng)0°＜α≤45°時，連接BD（如圖4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小變化情況，并說明理由．

Answer 1

【答案】 15° 45°(3) 15°，45°，105°，135°，150° (4) 保持不變；理由見解析

【解析】試題分析: （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠BAE=∠E=30°，再根據(jù)∠BAC=45°，即可得出∠CAE=45°-30°=15°；
（2）根據(jù)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時，∠α=∠BAC即可得到結(jié)果；
（3）要分5種情況進(jìn)行討論：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC，分別畫出圖形，計算出度數(shù)即可；
（4）先設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，再根據(jù)∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，然后根據(jù)∠C=30°，∠E=45°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數(shù)．

試題解析:

（1）如圖2，當(dāng)AB∥DE時，∠BAE=∠E=30°，
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°-30°=15°，
即∠α=15°，
故答案為：15；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時，∠α=∠BAC=45°，
故答案為：45；

（3）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)是：15°，45°，105°，135°，150°；

(4）當(dāng)0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不變；理由如下：

設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，

在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，

∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，

∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，

∵∠C=30°，∠E=45°，

∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°.