Question

14．如圖，已知?ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)O，∠BAC=∠BCA，分別過點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形OEDC是矩形；
（2）當(dāng)∠BCA=60°，BC=4$\sqrt{3}$時，求tan∠EBC的值．

Answer 1

分析 （1）易證四邊形ABCD是菱形，由菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，再由CE∥BD，DE∥AC，即可證明四邊形OEDC是矩形；
（2）過點(diǎn)E作EF垂直BC交BC延長線于點(diǎn)F，易求∠ECF=30°，由含30°的直角三角形性質(zhì)可求出EF，CF的長，進(jìn)而由正切的定義即可求出tan∠EBC的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴AB=CD=AD=BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵CE∥BD，
∴∠OCE=90°，
同理可得∠ODE=90°，
∴四邊形OEDC是矩形；
（2）解：過點(diǎn)E作EF垂直BC交BC延長線于點(diǎn)F，
∵∠BCA=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠ECF=120°-90°=30°，
∵BC=4$\sqrt{3}$，
∴BO=OD=6，
∴OD=CE=6，
∴EF=3，CF=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠EBC=$\frac{EF}{BF}=\frac{3}{4\sqrt{3}+3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟記矩形的判定方法與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．