Question

【題目】y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，2）、（3，7）且與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)、B兩點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)的解析式．

（2）如圖，點(diǎn)P是直線AB上一動點(diǎn)，以OP為邊作正方形OPNM，連接ON、PM交于點(diǎn)Q，連BQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動時，的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，在平面內(nèi)有一點(diǎn)H，當(dāng)以H、N、B、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+4；（2）的值不變，理由見解析；（3） 點(diǎn)H的坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組解決問題．

（2）如圖1中，結(jié)論：的值不變．連接BM，設(shè)PB交OM于G．想辦法證明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．

（3）分三種情形：如圖2﹣1中，當(dāng)四邊形PBNH是菱形時，如圖2﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時．得到四邊形PNMO是正方形（是菱形），此時H與原點(diǎn)O重合．如圖2﹣3中，當(dāng)四邊形PBNH是菱形時，分別求解即可解決問題．

解：（1）∵y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，2）、（3，7），

∴，

解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+4．

（2）如圖1中，結(jié)論：的值不變．

理由：連接BM，設(shè)PB交OM于G．

∵直線y＝x+4與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)、B兩點(diǎn)，

∴A（﹣4，0），B（0，4），

∴OA＝OB＝4，

∵四邊形POMN是正方形，

∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，

∴∠AOP＝∠BOM，

∵OA＝OB，

∴△AOP≌△BOM（SAS），

∴∠OPG＝∠GMB，

∵∠OGP＝∠BGM，

∴∠GBM＝∠GOP＝90°，

∴QM＝QP，

∴QB＝QP＝QM，

∵△POQ是等腰直角三角形，

∴OP＝QP，

∴．

（3）如圖2﹣1中，當(dāng)四邊形PBNH是菱形時，

∵BH垂直平分線段PN，BH垂直平分線段OM，

∴BM＝OB＝4，

∴M（﹣2，4+2），

∴P（﹣4﹣2，﹣2），

∴BN＝BP＝，

∴PH＝BN＝，

∵QB＝QN＝OQ，

∴∠NBO＝90°，

∴BN∥OA∥PH，

∴H（﹣4﹣2，﹣2）．

如圖2﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時，得到四邊形PNMO是正方形（是菱形），此時H與原點(diǎn)O重合，H（0，0）．

如圖2﹣3中，當(dāng)四邊形PBNH是菱形時，設(shè)PH交OB于J，在JO上取一點(diǎn)F，使得PJ＝JF．

∵BP＝BN，

∴∠BPN＝∠BNP＝22.5°，

∵∠OPN＝90°，∠PAO＝45°，

∴∠APO＝67.5°，

∴∠AOP＝67.5°，

∴∠POJ＝22.5°，

∵∠PFJ＝∠FPO+∠POF＝45°，

∴∠FPO＝∠POF＝22.5°，

∴PF＝OF，設(shè)PJ＝BJ＝JF＝x，則PB＝BN＝PF＝OF＝x，

∴2x+x＝4，

∴x＝4﹣2，

∴BN＝PH＝4﹣4，P（2﹣4，2），

∴H（6﹣8，2），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣4﹣2﹣4，﹣2）或（0，0）或（6﹣8，2）．