【題目】已知,矩形ABCD中,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE,求證:四邊形AFCE為菱形;
(2)如圖2,若AB=4cm,AF=5cm,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周,即點P自A→F→B→A停止,點Q自C→D→E→C停止,在運動過程中:
①已知點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為秒,當(dāng)A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求的值;
②若點P、Q的運動路程分別為(單位:cm,),已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式。
【答案】(1)見解析;(2)①;②a+b=12(ab≠0).
【解析】
(1)證明△AOE≌△COF,由全等推出OE=OF,得出平行四邊形AFCE,再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形即可得結(jié)論;
(2)①分情況討論可知,P點在BF上,Q點在ED上時,才能構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可;
②由題意得,以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,點P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上,分三種情況,畫出圖形討論即可得.
(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AE∥FC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵EF垂直平分AC,
∴AO=CO,FE⊥AC,
在△AOE和△COF中
,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO,
∴四邊形AFCE為平行四邊形,
又∵FE⊥AC,
∴平行四邊形AFCE為菱形;
(2)①顯然當(dāng)P點在AF上時,Q點在CD上,此時A、C、P、Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形;
同理P點在AB上時,Q點在DE或CE上,也不能構(gòu)成平行四邊形,
因此只有當(dāng)P點在BF上,Q點在ED上時,才能構(gòu)成平行四邊形,
∴以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,PC=QA,
∵點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,
∴PC=5t,QA=12-4t, ∴5t=12-4t,解得:t=,
∴以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,t=;
②由題意得,以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,點P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上,
分三種情況:
(i)如圖1,當(dāng)P點在AF上,Q點在CE上時,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12;
(ii) 如圖2,當(dāng)P點在BF上,Q點在DE上時,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12;
(iii) 如圖3,當(dāng)P點在AB上,Q點在CD上時,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12;
綜上所述,a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(ab≠0).
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【題目】如圖,矩形ABCD中,,點E是BC邊上一點,連接AE,把沿AE折疊,使點B落在點處當(dāng)為直角三角形時,BE的長為______.
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【題目】已知拋物線經(jīng)過點、、.
(1)求拋物線的解析式;
(2)聯(lián)結(jié)AC、BC、AB,求的正切值;
(3)點P是該拋物線上一點,且在第一象限內(nèi),過點P作交軸于點,當(dāng)點在點的上方,且與相似時,求點P的坐標(biāo).
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【題目】(10分)下面的圖形是由邊長為l的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的.
(1)觀察圖形,填寫下表:
圖形 | ① | ② | ③ |
正方形的個數(shù) | 8 |
|
|
圖形的周長 | 18 |
|
|
(2)推測第n個圖形中,正方形的個數(shù)為 ,周長為 (都用含n的代數(shù)式表示).
(3)這些圖形中,任意一個圖形的周長y與它所含正方形個數(shù)x之間的關(guān)系可表示為y= .
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【題目】某賓館準(zhǔn)備購進(jìn)一批換氣扇,從電器商場了解到:一臺A型換氣扇和三臺B型換氣扇共需275元;三臺A型換氣扇和兩臺B型換氣扇共需300元.
(1)求一臺A型換氣扇和一臺B型換氣扇的售價各是多少元;
(2)若該賓館準(zhǔn)備同時購進(jìn)這兩種型號的換氣扇共80臺,并且A型換氣扇的數(shù)量不多于B型換氣扇數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖,小明想用鏡子測量一棵松樹的高度,但樹旁有一條河,不能測量鏡子與樹之間的距離,于是小明兩次利用鏡子,第一次他把鏡子放在C點,人在F點正好在鏡子中看見樹尖A;第二次把鏡子放在D點,人在H點正好在鏡子中看到樹尖A.已知小明的眼睛距離地面的距離EF=1.68米,量得CD=10米,CF=1.2米,DH=3.6米,利用這些數(shù)據(jù)你能求出這棵松樹的高度嗎?試試看.(友情提示:∠ACB=∠ECF,∠ADF=∠GDH)
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【題目】如圖,直線y=k1x+1與雙曲線y=相交于P(1,m),Q(-2,-1)兩點.
(1)求m的值;
(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)為雙曲線上三點,且x1<x2<0<x3,請直接說明y1,y2,y3的大小關(guān)系;
(3)觀察圖象,請直接寫出不等式k1x+1>的解集.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E分別在AB、AC上,
(1)若∠BDO=∠CEO,求證:BE=CD.
(2)若點E為AC中點,問點D滿足什么條件時候,.
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