Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右作正方形CDEF，連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF，設(shè)OD＝t．

（1）求的值；

（2）用含t的代數(shù)式表示△OAB的面積S；

（3）是否存在點(diǎn)B，使以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OEF相似？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△OAB＝（0＜t＜2）；（3）B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(3,0)(6,0)時(shí)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOD=45°，然后判斷出△OCD是等腰直角三角形，然后得到正方形的邊長(zhǎng)等于t，即可得出結(jié)論；
（2）先利用△ACF和△AOB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例用t表示出OB，
（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例分情況求出BE，然后根據(jù)OB的長(zhǎng)度列出方程求解即可．

解：（1）∵點(diǎn)A（2，2），

∴∠AOD＝45°，

∴△OCD是等腰直角三角形，

∵OD＝t，

∴正方形CDEF的邊長(zhǎng)為t，

∴OE＝OD+DE＝t+t＝2t，

∴

（2）∵OD＝t，

∴

∴

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CF∥OB，

∴△ACF∽△AOB，

∴

∴

∴

∴

（3）由（1）知，

由（2）知，EF=t，

要使△BEF與△OFE相似，

∵∠FEO＝∠FEB＝90°，

∴只要或

即：BE=2t或，

①當(dāng)BE=2t時(shí)，BO=4t，

∴

∴t1=0(舍去)或，

∴B(6,0).

②當(dāng)時(shí)，

(ⅰ)當(dāng)B在E的左側(cè)時(shí)，

∴

∴t1=0(舍去)或

∴B(1,0).

(ⅱ)當(dāng)B在E的右側(cè)時(shí),

∴

∴t1=0(舍去)或

∴B(3,0).

綜上,B(1,0)(3,0)(6,0).

綜上所述，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(3,0)(6,0)時(shí)，以B，E，F為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似．