Question

已知：

x+2y-z=3 2x-y+3z=6

，試求x²-y²+xz的最大值或最小值，并指出此時x，y，z的值．

Answer 1

考點：配方法的應(yīng)用,非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方,解三元一次方程組

專題：計算題

分析：先把方程組看作關(guān)于x、y的二元一次方程組，解得x=3-z，y=z，則原式=-z²-3z+9，再利用配方法得到原式=-（z+

3

2

）²+

45

4

，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)z=-

3

2

時，原式有最大值

45

4

，接著計算對應(yīng)的x和y的值．

解答：解：

x+2y-z=3① 2x-y+3z=6②

，
①×2-②得5y-5z=0，解得y=z，
①+②×2得5x+5z=15，解得x=3-z，
∴原式=（3-z）²-z²+（3-z）•z
=-z²-3z+9
=-（z+

3

2

）²+

45

4

，
∵（z+

3

2

）²≥0，
∴-（z+

3

2

）²≤0，
∴-（z+

3

2

）²+

45

4

≤

45

4

，
∴當(dāng)z=-

3

2

時，原式有最大值

45

4

，
此時x=3+

3

2

=

9

2

，y=z=-

3

2

．

點評：本題考查了配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和解三元一次方程組．