Question

13．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，D是$\widehat{BC}$上一點(diǎn)，OD⊥BC，垂足為H．
（1）如圖1，當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí)，求證：AC=2OH；
（2）如圖2，當(dāng)圓心O在△ABC外部時(shí)，連接AD、CD，AD與BC交于點(diǎn)P，求證：∠ACD=∠APB；
（3）在（2）的條件下，如圖3，連接BD，E為⊙O上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N，連接OE，BF為⊙O的弦，BF⊥OE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G，若∠ACD-∠ABD=2∠BDN，AC=5$\sqrt{5}$，BN=3$\sqrt{5}$，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）OD⊥BC可知點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，又中位線(xiàn)的性質(zhì)可得AC=2OH；
（2）由垂徑定理可知：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，所以∠BAD=∠CAD，由因?yàn)椤螦BC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；
（3）由∠ACD-∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC=$\frac{1}{2}$可知NQ和BQ的長(zhǎng)度，再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)I，連接IC后利用圓周角定理可求得IC和AI的長(zhǎng)度，設(shè)QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的長(zhǎng)度，利用垂徑定理可求得ED的長(zhǎng)度，最后利用tan∠OED=$\frac{1}{2}$即可求得RG的長(zhǎng)度，最后由垂徑定理可求得BF的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）∵OD⊥BC，
∴由垂徑定理可知：點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OH是△ABC的中位線(xiàn)，
∴AC=2OH；

（2）∵OD⊥BC，
∴由垂徑定理可知：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ADC，
∴180°-∠BAD-∠ABC=180°-∠CAD-∠ADC，
∴∠ACD=∠APB，

（3）連接AO延長(zhǎng)交于⊙O于點(diǎn)I，連接IC，AB與OD相交于點(diǎn)M，
∵∠ACD-∠ABD=2∠BDN，
∴∠ACD-∠BDN=∠ABD+∠BDN，
∵∠ABD+∠BDN=∠AND，
∴∠ACD-∠BDN=∠AND，
∵∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠BDN=180°-∠AND，
∴∠AND=180°-∠AND，
∴∠AND=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，BN=3$\sqrt{5}$，
∴NQ=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴由勾股定理可求得：BQ=$\frac{15}{2}$，
∵∠BNQ=∠QHD=90°，
∴∠ABC=∠QDH，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠QDH，
∵∠ERG=90°，
∴∠OED=∠GBN，
∴∠GBN=∠ABC，
∵AB⊥ED，
∴BG=BQ=$\frac{15}{2}$，GN=NQ=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵AI是⊙O直徑，
∴∠ACI=90°，
∵tan∠AIC=tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{IC}$=$\frac{1}{2}$，
∴IC=10$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：AI=25，
連接OB，
設(shè)QH=x，
∵tan∠ABC=tan∠ODE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{QH}{HD}=\frac{1}{2}$，
∴HD=2x，
∴OH=OD-HD=$\frac{25}{2}$-2x，
BH=BQ+QH=$\frac{15}{2}$+x，
由勾股定理可得：OB²=BH²+OH²，
∴（$\frac{25}{2}$）²=（$\frac{15}{2}$+x）²+（$\frac{25}{2}$-2x）²，
解得：x=$\frac{9}{2}$或x=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)QH=$\frac{9}{2}$時(shí)，
∴QD=$\sqrt{5}$QH=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
∴ND=QD+NQ=6$\sqrt{5}$，
∴MN=3$\sqrt{5}$，MD=15
∵M(jìn)D＞$\frac{25}{2}$，
∴QH=$\frac{9}{2}$不符合題意，舍去，
當(dāng)QH=$\frac{5}{2}$時(shí)，
∴QD=$\sqrt{5}$QH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$
∴ND=NQ+QD=4$\sqrt{5}$，
由垂徑定理可求得：ED=10$\sqrt{5}$，
∴GD=GN+ND=$\frac{11}{2}\sqrt{5}$
∴EG=ED-GD=$\frac{9}{2}$$\sqrt{5}$，
∵tan∠OED=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{RG}{ER}=\frac{1}{2}$，
∴EG=$\sqrt{5}$RG，
∴RG=$\frac{9}{2}$，
∴BR=RG+BG=12
∴由垂徑定理可知：BF=2BR=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及圓周角定理，中位線(xiàn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．