【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,P為射線AB上一個動點,過P作PF⊥AC,垂足為F,交CD于點G,連接CP與BF交于點H,過點C,P,F作⊙O.
(1)當AP=5時,求證:∠CPB=∠FBC.
(2)當點P在線段AB上時,若△FCH的面積等于△PBH面積的4倍,求DG的長.
(3)當⊙O與△ADC的其中一邊相切時,求所有滿足條件的AP的長.
(4)當H將線段CP分成1:4的兩部分時,求AP的長(直接寫出結(jié)果).
【答案】(1)見解析;(2);(3) 或8或 ;(4)AP=5或AP=20
【解析】
(1)利用已知易證△AFP∽△ABC,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,可得到AC的長,再證明CF=CB,然后利用圓周角定理可證得結(jié)論;
(2)利用相似三角形的性質(zhì),可證得CF=2PB,設(shè)AP=5m,則AF=4m,用含m的代數(shù)式表示出PB,CF的長,據(jù)此可建立關(guān)于m的方程,解方程求出m的值,即可得到AP,AF,CF的長,再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,可求出CG的長,即可得到DG的長;
(3)①F與C重合時,⊙O與AC相切;②P與B重合時,⊙O與DC相切,可以求出AP的長;③⊙O與AD相切時,設(shè)切點為K,如圖,設(shè)AP=x,分別用含x的代數(shù)式表示出PB,OK,PC的長,利用勾股定理建立關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,即可得到AP的長;
(4)分情況討論:①當點P在線段AB上時,如圖1,過點P作PM∥AC交BF于點M,設(shè)AP=5m,用含m的代數(shù)式表示出AF,CF,PB,PM的長,再由PM∶AF=PB:AB,可求出m的值,即可得到AP的長;②當點P在線段AB的延長線上時,如圖2,過點C作CM∥AP交BF于點M,用含m的代數(shù)式表示出AF,CF,PB,PM的長,再由PM∶AF=PB:AB,可求出m的值,即可得到AP的長.
(1)證明:∵PF⊥AC,
∴∠AFP=∠ABC=90°,
∴△AFP∽△ABC,
∴ ,
∵AB=8,BC=AD=6,
∴AC=10,
∴當AP=5時,AF=4,
∴CF=6,
∴CF=CB,
∴,
∴∠CPB=∠FBC;
(2)解:由題意可知△FCH∽△PBH,
∵△FCH的面積等于△PBH面積的4倍,
∴CF=2PB,
設(shè)AP=5m,則AF=4m,
∴PB=8-5m,CF=10-4m,
∴10-4m=2(8-5m),
∴m=1,
∴AP=5,AF=4,CF=6,
∵△CFG∽△AFP,
∴CG=,
∴DG=;
(3)解:①F與C重合時,⊙O與AC相切,AP= ,
②P與B重合時,⊙O與DC相切,AP=8;
③⊙O與AD相切時,設(shè)切點為K,如圖,
設(shè)AP=x,則PB=8-x,OK=(8+x)
∴PC=8+x,
在Rt△PBC中,由勾股定理可以求得x=,
∴AP= ,
綜上所述,AP的長為或8或;
(4)解:AP=5或AP=20.
①當點P在線段AB上時,如圖1,過點P作PM∥AC交BF于點M,
設(shè)AP=5m,則AF=4m,CF=10-4m,PB=8-5m,
∵PH:CH=1:4,
∴PM=(10-4m),
再由PM∶AF=PB:AB,得m=1,∴AP=5,
②當點P在線段AB的延長線上時,如圖2,過點C作CM∥AP交BF于點M,
設(shè)AP=5m,則AF=4m,CF=4m-10,PB=5m-8,
∵PH:CH=4:1,
∴CM=(5m-8),
再由CM:AB=CF:AF,得m=4,∴AP=20.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尼泊爾發(fā)生了里氏8.1級地震,某中學(xué)組織了獻愛心捐款活動,該校教學(xué)興趣小組對本校學(xué)生獻愛心捐款額做了一次隨機抽樣調(diào)查,并繪制了不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.如圖所示:
(1)a等于多少?b等于多少?
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;若制成扇形統(tǒng)計圖,求捐款額在之間的扇形圓心角的度數(shù);
(3)該校共有1600名學(xué)生,估計這次活動中愛心捐款額不低于20元的學(xué)生有多少人?
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【題目】在探究銳角三角函數(shù)的意義的學(xué)習(xí)過程中,小亮發(fā)現(xiàn):“如圖1,在中,,可探究得到”
(1)請你利用圖1探究說明小亮的說法是否正確;
(2)小麗猜想“如果在鈍角三角形中,兩個銳角正弦值與它們所對邊的邊長之間也有一定的關(guān)系“在圖2的鈍角中,是鈍角,請你利用圖2幫小麗探究與之間的關(guān)系,并寫出探究過程.
(3)在銳角中,,,之間存在什么關(guān)系,請你探究并直接寫出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進行試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降低1元,每天就可多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.
(1)當銷售單價為70元時,每天的銷售利潤是多少?
(2)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量的取值范圍;
(3)如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元,那么銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生課余生活情況,對喜愛看課外書、體育活動、看電視、社會實踐四個方面的人數(shù)進行調(diào)查統(tǒng)計,現(xiàn)從該校隨機抽取n名學(xué)生作為樣本,采用問卷調(diào)查的方式收集數(shù)據(jù)參與問卷調(diào)查的每名學(xué)生只能選擇其中一項,并根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,由圖中提供的信息,解答下列問題:
補全條形統(tǒng)計圖;
若該校共有學(xué)生2400名,試估計該校喜愛看電視的學(xué)生人數(shù).
若調(diào)查到喜愛體育活動的4名學(xué)生中有3名男生和1名女生,現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名,求恰好抽到2名男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別是正方形的邊的中點,以為邊作正方形 ,與交于點,聯(lián)結(jié).
(1)求證:;
(2)設(shè),求證.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=6,AD=10,動點P從點D出發(fā),在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動,連接CP,作點D關(guān)于直線PC的對稱點E,設(shè)點P的運動時間為t(x),當P,E,B三點在同一直線上時對應(yīng)t的值為 .
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°,點E在BC的延長線上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AC∥DE,當AB=8,CE=2時,求AC的長.
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【題目】如圖.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D是斜邊上的中點,點P在AB上,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,若AB=6,BC=3,則PE+PF=( 。
A.
B.
C.
D.
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