Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+1（m為常數(shù)，且m＞0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對稱，其頂點為B，連接AC，BC，AB．
（1）當(dāng)m=1時，判定△ABC的形狀，并說明理由；
（2）拋物線C₁上是否存在點P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得：AC=BC等腰三角形，借助于輔助線，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC為等腰直角三角形；
（2）首先假設(shè)成立，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解，求得m=

3

，所以存在．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時，△ABC為等腰直角三角形．　　
理由如下：
如圖：∵點A與點B關(guān)于y軸對稱，點C又在y軸上，
∴AC=BC．　
過點A作拋物線C₁的對稱軸，交x軸于D，過點C作CE⊥AD于E．
當(dāng)m=1時，頂點A的坐標為A（1，2），
∴CE=1．
又∵點C的坐標為（0，1），AE=2-1．
∴AE=CE．從而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°．
由對稱性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90°．
∴△ABC為等腰直角三角形．　　

（2）假設(shè)拋物線C₁上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，則PC=AB=BC．
由（1）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC．
∴△ABC為等邊三角形．
∴∠ACy=∠BCy=30°．
∵四邊形ABCP為菱形，且點P在C₁上，
∴點P與點C關(guān)于AD對稱．
∴PC與AD的交點也為點E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵點A，C的坐標分別為A（m，m²+1），C（0，1），
∴AE=m²+1-1=m²，CE=m．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

m

=

3

．
∴m=±

3

，
∵m＞0，
∴m=

3

，
故拋物線C₁上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，
此時m=

3

．

點評：此題考查了二次函數(shù)與四邊形以及軸對稱圖形的綜合知識，解題時要注意輔助線選擇與應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．