Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長交AD的延長線于G．

（1）求證：DG＝BC；

（2）F是AB邊上的動點(diǎn)，當(dāng)F點(diǎn)在什么位置時(shí)，FD∥BG；說明理由．

（3）在（2）的條件下，連結(jié)AE交FD于H，FH與HD長度關(guān)系如何？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)F運(yùn)動到AF＝AD時(shí)，FD∥BG，理由見解析；（3）FH＝HD，理由見解析

【解析】

（1）證明△DEG≌△CEB（AAS）即可解決問題．

（2）想辦法證明∠AFD＝∠ABG＝45°可得結(jié)論．

（3）結(jié)論：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，

∵E是DC的中點(diǎn)，即 DE＝CE，

∴△DEG≌△CEB（AAS），

∴DG＝BC；

（2）解：當(dāng)F運(yùn)動到AF＝AD時(shí)，FD∥BG．

理由：由（1）知DG＝BC，

∵AB＝AD+BC，AF＝AD，

∴BF＝BC＝DG，

∴AB＝AG，

∵∠BAG＝90°，

∴∠AFD＝∠ABG＝45°，

∴FD∥BG，

故答案為：F運(yùn)動到AF＝AD時(shí)，FD∥BG；

（3）解：結(jié)論：FH＝HD．

理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG為等腰直角三角形，所以AE⊥BG，

∵FD∥BG，

∴AE⊥FD，

∵△AFD為等腰直角三角形，

∴FH＝HD，

故答案為：FH＝HD．