Question

16．將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=2$\sqrt{2}$，P是AC上的一個動點．
（1）直接寫出AD=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，四邊形ABCD的面積=$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$；
（2）當點P在運動過程中出現PD=BC時，求此時∠PDA的度數；
（3）當點P運動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時?DPBQ的面積．

Answer 1

分析 （1）根據30°的直角三角形和等腰直角三角形的性質求出各邊的長，再將兩三角形面積相加即為四邊形ABCD的面積；
（2）分兩種情況：如圖2和圖3，利用三角函數的特殊值求出∠PDF的度數，再根據圖形位置求出∠PDA的度數；
（3）如圖4，根據（1）中結論可知，DP=CP=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，再利用平行線的距離相等可知：PC就是□DPBQ的邊PD所對應的高，代入面積公式求出面積即可．

解答 解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∵∠CAB=30°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$；
（2）當P點位置如圖2所示時，
根據（1）中結論，DF=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=$\sqrt{2}$，
∴cos∠PDF=$\frac{DF}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDF=30°，
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°；
當P點位置如圖3所示時，同（2）可得∠PDF=30°，
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°；
∴此時∠PDA的度數為15°或75°；
（3）如圖4，
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴DP⊥AC
根據（1）中結論可知，DP=CP=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴S_□DPBQ=DP•CP=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
則當點P運動到距離點C為$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上，此時?DPBQ的面積為$\frac{3}{2}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了一副三角板所形成的四邊形的邊和角的關系；根據動點P的運動路線確定其所形成的邊和角的關系，利用三角函數和勾股定理求邊和角的大小，得出結論．