Question

（2012•威海）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E．K為

AC

上一動點，AK，DC的延長線相交于點F，連接CK，KD．
（1）求證：∠AKD=∠CKF；
（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

Answer 1

分析：（1）連接AD、AC．根據(jù)“圓內接四邊形對角互補”以及同角得到補角相等，推知∠CKF=∠ADC；然后由圓心角、弧、弦間的關系以及圓周角定理證得∠ADC=∠AKD；最后根據(jù)圖中角與角間的和差關系證得結論；
（2）連接OD．利用垂徑定理知DE=CE=

1

2

CD=3；然后在Rt△ODE中根據(jù)勾股定理求得OE=4；最后在Rt△ADE中利用三角函數(shù)的定義求得tan∠ADE=3，由等量代換知tan∠CKF=3．

解答：（1）證明：連接AD、AC．
∵∠CKF是圓內接四邊形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，
∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC；
∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴

BD

=

BC

∴

AD

=

AC

∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；

（2）解：連接OD．
∵AB為⊙O的直徑，AB=10，
∴OD=5；
∵弦CD⊥AB，CD=6，
∴DE=CE=

1

2

CD=3（垂徑定理）；
在Rt△ODE中，OE=

OD2-DE2

=4，
∴AE=9；
在Rt△ADE中，tan∠ADE=

AE

DE

=

9

3

=3；
∵∠CKF=∠ADE，
∴tan∠CKF=3．

點評：此題考查了圓的綜合題．解答此題時，綜合利用了圓內接四邊形的性質、垂徑定理、勾股定理以及解直角三角形等知識．