Question

（2012•威海）如圖，在平面直角坐標系中，線段OA₁=1，OA₁與x軸的夾角為30°，線段A₁A₂=1，A₂A₁⊥OA₁，垂足為A₁；線段A₂A₃=1，A₃A₂⊥A₁A₂，垂足為A₂；線段A₃A₄=1，A₄A₃⊥A₂A₃，垂足為A₃；…按此規(guī)律，點A₂₀₁₂的坐標為

（503

3

-503，503

3

+503）

．

Answer 1

分析：過點A₁作A₁B⊥x軸，作A₁C∥x軸A₂C∥y軸，相交于點C，然后求出點A₁的坐標，以及A₁C、A₂C的長度，并出A₂、A₃、A₄、A₅、A₆的坐標，然后總結出點的坐標的變化規(guī)律，再把2012代入規(guī)律進行計算即可得解．

解答：解：如圖，過點A₁作A₁B⊥x軸，作A₁C∥x軸A₂C∥y軸，相交于點C，
∵OA₁=1，OA₁與x軸的夾角為30°，
∴OB=OA₁•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，
A₁B=OA₁•sin30°=1×

1

2

=

1

2

，
∴點A₁的坐標為（

3

2

，

1

2

），
∵A₂A₁⊥OA₁，OA₁與x軸的夾角為30°，
∴∠OA₁C=30°，∠A₂A₁C=90°-30°=60°，
∴∠A₁A₂C=90°-60°=30°，
同理可求：A₂C=OB=

3

2

，A₁C=A₁B=

1

2

，
所以，點A₂的坐標為（

3

2

-

1

2

，

3

2

+

1

2

），
點A₃的坐標為（

3

2

-

1

2

+

3

2

，

3

2

+

1

2

+

1

2

），即（

3

-

1

2

，

3

2

+1），
點A₄的坐標為（

3

-

1

2

-

1

2

，

3

2

+1+

3

2

），即（

3

-1，

3

+1），
點A₅的坐標為（

3

-1+

3

2

，

3

+1+

1

2

），即（

3 3

2

-1，

3

+

3

2

），
點A₆的坐標為（

3 3

2

-1-

1

2

，

3

+

3

2

+

3

2

），即（

3 3

2

-

3

2

，

3 3

2

+

3

2

），
…，
當n為奇數時，點A_n的坐標為（

n+1

4

3

-

n-1

4

，

n-1

4

3

+

n+1

4

），
當n為偶數時，點A_n的坐標為（

n

4

3

-

n

4

，

n

4

3

+

n

4

），
所以，當n=2012時，

n

4

3

-

n

4

=503

3

-503，

n

4

3

+

n

4

=503

3

+503，
點A₂₀₁₂的坐標為（503

3

-503，503

3

+503）．
故答案為：（503

3

-503，503

3

+503）．

點評：本題考查了點的坐標的規(guī)律變化問題，作出輔助線，求出各點的橫坐標與縱坐標的規(guī)律變化的數值，然后依次寫出前幾個點的坐標，根據坐標與點的序號的特點找出點的坐標的通式是解題的關鍵．