Question

【題目】已知OA是⊙O的半徑，OA=1，點P是OA上一動點，過P作弦BC⊥OA，連接AB、AC．

（1）如圖1，若P為OA中點，則AC=______，∠ACB=_______°；

（2）如圖2，若移動點P，使AB、CO的延長線交于點D．記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2．△AOD的面積為S3，且滿足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）1，30；（2）．

【解析】

（1）證得△AOC為等邊三角形，得出AC＝1，∠ACO＝60°，可求出答案；

（2）若DC與圓O相交于點E，連接BE，證明△ABO≌△ACO（SSS），得出S△ABO＝S△ACO＝S1，由題意得出()2＋1＝0，解得：＝，求出，證明△AOD∽△BED，得出=，得出OP＝BE，則可求出答案．

解：（1）∵BC⊥OA，OB=OC，

∴BP=CP，

∵P是OA的中點，

∴OP=AP，

∴OA垂直平分BC，且BC垂直平分OA，

∴四邊形ABOC是菱形，

∴AC=OC=OA=1，BC平分∠ACO，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠ACO=60°，

∴∠ACB=∠ACO=30°，

故答案為：1，30；

（2）連接，

∵

∴，

∴，

∵，AO=AO，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，，

∴，即，

∵為直徑，

∴，

∴，

∴

∴，

∵

∴，

∴，

∴，

∴

∴．