Question

如圖，PB切⊙O于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BA⊥PE交⊙O于點(diǎn)A，聯(lián)結(jié)AP，AE．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）如果OD=3，tan∠AEP=

1

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）連接OA、OB，根據(jù)垂徑定理的知識(shí)，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)tan∠AEP=

1

2

得出

AD

DE

=

1

2

，設(shè)AD=x，DE=2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，進(jìn)而就可求得⊙O的半徑．

解答：（1）證明：如圖，連結(jié)OA，OB，
∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PE于點(diǎn)D，
∴∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，

OA=OB ∠POA=∠POB PO=PO

，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA⊥OA，
∴直線PA為⊙O的切線，
（2）在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
∵tan∠AEP=

AD

DE

=

1

2

，
∴設(shè)AD=x，DE=2x，
∴OE=2x-3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）²=x²+3²，
解得x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去），
∴AD=4，OA=OE=2x-3=5，
即⊙O的半徑的長(zhǎng)5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，關(guān)鍵是熟練掌握一些基本性質(zhì)和定理，在解答綜合題目能靈活運(yùn)用．