Question

5．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE=45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，AE=8，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形得到判斷△CBE≌△CDF即可；
（2）由判斷△CBE≌△CDF的特點(diǎn)構(gòu)造出△ECG≌△FCG，即可；
（3）由條件構(gòu)造出正方形ABCD，再由勾股定理建立方程DE²=AD²+AE²，計(jì)算出相關(guān)的線段，即可．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∴$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）如圖2，

延長AD至F，使DF=BE．連接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）如圖3，

過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCD 為正方形，
∴AG=BC，
已知∠DCE=45°，
根據(jù)（1）（2）可知，ED=BE+DG，
所以10=4+DG，即DG=6，
設(shè)AB=x，則AE=x-4，AD=x-6
在Rt△AED中，
∵DE²=AD²+AE²，即10²=（x-6）²+（x-4）²，
解這個(gè)方程，得：x=12，或x=-2（舍去），
∴AB=12，
所以梯形ABCD的面積為S=S=$\frac{1}{2}$（AD+BC）AB=$\frac{1}{2}$（6+12）×12=108．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)和判定，解本題的難點(diǎn)是構(gòu)造三角形如（2）△CDF和正方形如（3）正方形ABCD．