Question

19．問題背景．在△ABC中，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{13}$，求這個(gè)三角形的面積，小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形的頂點(diǎn)處），如圖所示，這樣不需要求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算它的面積．
（1）請(qǐng)直接寫出△ABC的面積$\frac{7}{2}$；
（2）我們把上述方法叫做構(gòu)圖法，若△ABC中，AB，BC，AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5a}$，$\sqrt{8a}$，$\sqrt{17a}$，請(qǐng)你在圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）中畫出相應(yīng)的△ABC．并求其面積．

Answer 1

分析 （1）用長(zhǎng)寬均為3的矩形面積減去三個(gè)直角三角形面積可得；
（2）由勾股定理得出$\sqrt{5a}$、$\sqrt{8a}$、$\sqrt{17a}$即可畫出圖形，用矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積即可得出所求三角形的面積．

解答 解：（1）S_△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{7}{2}$；

（2）如圖，
∵AB=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，BC=$\sqrt{（2a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，AC=$\sqrt{{a}^{2}+（4a）^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
∴△ABC即為所求作三角形，

則S_△ABC=2a•4a-$\frac{1}{2}$×a×2a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$×a×4a=3a²．
故答案為：（1）$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、三角形面積的計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，根據(jù)邊長(zhǎng)畫出三角形是解決問題的關(guān)鍵．