Question

2．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E．
（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；
（2）設(shè)過點(diǎn)E、D、C的拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G，F(xiàn)（-$\frac{7}{5}$，0）矩形FGMN位置如圖2所示，NF=OF，將矩形FGMN以1個(gè)單位/秒的速度從圖2所示位置沿x軸正方向勻速平移，同時(shí)點(diǎn)P也以同樣的速度從點(diǎn)G出發(fā)沿射線GM的方向勻速運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)G經(jīng)過原點(diǎn)O后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤3），射線GM交拋物線于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)N、F、P、Q為頂點(diǎn)的多邊形的面積為S，①試求出S與t的函數(shù)關(guān)系；②S是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)點(diǎn)R（3，1）記過點(diǎn)E、D、C的拋物線為C₁，將拋物線C₁繞著點(diǎn)R旋轉(zhuǎn)180°得拋物線C₂，設(shè)C₂交x軸于點(diǎn)S、T（S在T的左側(cè)），在拋物線C₁的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)K，使得△DSK的面積不大于6，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)K的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)E、D、C的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）用t表示出點(diǎn)G和Q坐標(biāo)：OG=t，G（t，0），Q（t，$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{13}{6}$t+1），再用t表示線段GP，QP，GP=$\frac{2}{5}$+t，QP=$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{13}{6}$t+1-（$\frac{2}{5}$+t）=$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{7}{6}$t+$\frac{3}{5}$，點(diǎn)N、F、P、Q為頂點(diǎn)的多邊形是一個(gè)梯形，①根據(jù)面積公式即可列出函數(shù)關(guān)系式；
②運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式可求出面積最大時(shí)的t的值；
（3）結(jié)合旋轉(zhuǎn)180°的知識(shí)求出C₂的解析式，令y=0求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)K的縱坐標(biāo)，表示出△DSK的面積，根據(jù)面積不大于6，即可求解．

解答 解：由矩形OABC的邊OA=3，OC=3，
∴點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（3，0），∠AOC=90°，∠OAB=90°，AB=OC=3，BC=OA=2，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=45°，
∴∠OBA=45°
∴AD=0A=2，BD=AB-AD=3-2=1，
∴點(diǎn)D（2，2）
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
又∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠BCD，
∵∠CBD=∠DAE=90°，AD=BC=2，
在△AED和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠DAE}\\{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCD}\end{array}\right.$
∴△AED≌△BDC（SAS），
∴AE=BD=1
∴點(diǎn)E（0，1）
（1）設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，
把E（0，1），D（2，2），C（3，0）坐標(biāo)代入得：1=c；  2=4a+2b+c；   0=9a+3b+c，
解得：a=$-\frac{5}{6}$，b=$\frac{13}{6}$，c=1，
所以：過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式為：y=$-\frac{5}{6}$x²+$\frac{13}{6}$x+1．
（2）①
y=$-\frac{5}{6}$x²+$\frac{13}{6}$x+1，當(dāng)y=0時(shí)，0=$-\frac{5}{6}$x²+$\frac{13}{6}$x+1，解得：x₁=3，x₂=$-\frac{2}{5}$，
∴G（$-\frac{2}{5}$，0），OG=$\frac{2}{5}$，
由F（$-\frac{7}{5}$，0）得：OF=$\frac{7}{5}$，F(xiàn)N=OF=$\frac{7}{5}$，F(xiàn)G=$-\frac{2}{5}$-（$-\frac{7}{5}$）=1
點(diǎn)G經(jīng)過原點(diǎn)O后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，OG=t，G（t，0），GP=$\frac{2}{5}$+t
當(dāng)x=t時(shí)，y=$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{13}{6}$t+1
∴Q（t，$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{13}{6}$t+1），
∴QP=$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{13}{6}$t+1-（$\frac{2}{5}$+t）=$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{7}{6}$t+$\frac{3}{5}$
S=（NF+QP）×FG×$\frac{1}{2}$
S=（$\frac{7}{5}$+$-\frac{5}{6}$t²+$\frac{7}{6}$t+$\frac{3}{5}$）×1×$\frac{1}{2}$
S=$-\frac{5}{12}$t²+$\frac{7}{12}$t+1
②S=$-\frac{5}{12}$t²+$\frac{7}{12}$t+1
故當(dāng)t=-$\frac{\frac{7}{12}}{2×（-\frac{5}{12}）}$=$\frac{7}{10}$時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)G（$\frac{7}{10}$，0）

（3）C₁：y=$-\frac{5}{6}$x²+$\frac{13}{6}$x+1，
設(shè)C₁上的點(diǎn)（x，y）繞點(diǎn)R（3，1）旋轉(zhuǎn)180°后得到C₂上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x′，y′）
則有：$\frac{x+x′}{2}=3$，$\frac{y+y′}{2}=1$，
解得：x′=6-x，y′=2-x
∴C₂：2-y=$-\frac{5}{6}$（6-x）²+$\frac{13}{6}$（6-x）+1
整理得：y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{47}{6}$x+18
當(dāng)y=0時(shí)，0=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{47}{6}$x+18，解得：x₁=4，x₂=$\frac{27}{5}$
S在T的左側(cè)可知：點(diǎn)S（4，0）
C₁：y=$-\frac{5}{6}$x²+$\frac{13}{6}$x+1的對(duì)稱軸為：x=$\frac{13}{10}$，
設(shè)K點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y
設(shè)直線SD：y=mx+n，把點(diǎn)S（4，0）和點(diǎn)D（2，2）坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4m+n}\\{2=2m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$
∴直線SD：y=-x+4
當(dāng)x=$\frac{13}{10}$時(shí)，y=2.7，此時(shí)S，D，K在一條直線上，y≠2.7
過點(diǎn)G作平行于x軸的直線與直線SD相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x=4-y，與x=$\frac{13}{10}$的距離為：4-y-$\frac{13}{10}$
如圖4：當(dāng)0≤y＜2.7時(shí)，△DSK₁的面積為：（4-y-$\frac{13}{10}$）×2×$\frac{1}{2}$=2.7-y，∵0≤y＜2.7∴2.7-y＜6，滿足題意
當(dāng)y＜0時(shí)，△DSK₃的面積為：（4-y-$\frac{13}{10}$）×[（2-y）-（-y）]×$\frac{1}{2}$=2.7-y，∴2.7-y≤6，解得：y≥-3.3．∴0＞y≥-3.3時(shí)滿足題意
當(dāng)y＞2.7時(shí)，△DSK₂的面積為：[$\frac{13}{10}$-（4-y）]×[y-（y-2）]×$\frac{1}{2}$=y-2.7，∴y-2.7≤6，解得：y≤8.7．∴2.7＜y≤8.7滿足題意
綜上所述：使得△DSK的面積不大于6時(shí)的點(diǎn)K的縱坐標(biāo)的范圍是：-3.3≤y≤8.7，且y≠2.7．

               圖4

點(diǎn)評(píng) 此題主要考察二次函數(shù)的綜合性問題，熟悉矩形的性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法，會(huì)用時(shí)間表示線段進(jìn)一步表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并結(jié)合題意建立二次函數(shù)解決最值問題是解題的關(guān)鍵．