【題目】已知:△ABC是等腰直角三角形,動點P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問題:
(1)如圖①,若點P在線段AB上,且AC=1+ ,PA= ,則:

① 線段PB= , PC=
② 猜想:PA2 , PB2 , PQ2三者之間的數(shù)量關系為
(2)如圖②,若點P在AB的延長線上,在(1)中所猜想的結論仍然成立,請你利用圖②給出證明過程;

(3)若動點P滿足 = ,求 的值.(提示:請利用備用圖進行探求)

【答案】
(1),2,AP2+BP2=PQ2
(2)解:如圖②:過點C作CD⊥AB,垂足為D.

∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,

∴CD=AD=DB.

∵AP2=(AD+PD)2=(DC+PD)2=CD2+2DCPD+PD2,

PB2=(DP﹣BD)2=(PD﹣DC)2=DC2﹣2DCPD+PD2

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2,

∵在Rt△PCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,

∴AP2+BP2=2PC2

∵△CPQ為等腰直角三角形,

∴2PC2=PQ2

∴AP2+BP2=PQ2


(3)解:如圖③:過點C作CD⊥AB,垂足為D.

①當點P位于點P1處時.

在Rt△CP1D中,由勾股定理得: = = DC,

在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC= = = DC,

②當點P位于點P2處時.

= ,

在Rt△CP2D中,由勾股定理得: = = ,

在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC= = = DC,

綜上所述, 的比值為


【解析】(1)如圖①:

①∵△ABC是等腰直直角三角形,AC=1+

∴AB= = = +

∵PA= ,

∴PB= ,

∵△ABC和△PCQ均為等腰直角三角形,

∴AC=BC,PC=CQ,∠ACP=∠BCQ,

∴△APC≌△BQC.

∴BQ=AP= ,∠CBQ=∠A=45°.

∴△PBQ為直角三角形.

∴PQ=

∴PC= PQ=2.

所以答案是: ,2;

②如圖1.

∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,

∴CD=AD=DB.

∵AP2=(AD﹣PD)2=(DC﹣PD)2=DC2﹣2DCPD+PD2,PB2=(DB+PD)2=(DC+DP)2=CD2+2DCPD+PD2

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2

∵在Rt△PCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,

∴AP2+BP2=2PC2

∵△CPQ為等腰直角三角形,

∴2PC2=PQ2

∴AP2+BP2=PQ2

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