Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，連接AF，使∠ABC=2∠CAF．

（1）求證：AF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，如圖1所示：

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°，

∵BA=BC，

∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD

∵∠ABC=2∠CAF，

∴∠ABD=∠CAF，

∵∠ABD+∠CAB=90°，

∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，

∴AF是⊙O的切線(xiàn)

（2）解：連接AE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑

∴∠AEB=90°，即△AEB為直角三角形，

∵CE：EB=1：3，

設(shè)CE長(zhǎng)為x，則EB長(zhǎng)為3x，BC長(zhǎng)為4x．

則AB長(zhǎng)為4x，

在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE= ，

在Rt△AEC中，AC=4，AE= ，CE=x，

由勾股定理得： ，

解得： ，

∵x＞0

∴ ，即CE長(zhǎng)為 ．

【解析】（1）連接BD，依據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°可得到∠ADB=90°，然后由等角對(duì)等邊的性質(zhì)以及角平分的定義可得到∠ABC=2∠ABD，于是∠ABD=∠CAF，然后可得到∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA；
（2）連接AE，由依據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°得到∠AEB=90°，設(shè)CE長(zhǎng)為x，則EB長(zhǎng)為3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE的長(zhǎng)，最后，在Rt△AEC中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線(xiàn)的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線(xiàn)的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)才能正確解答此題．