【題目】(10分)已知∠MAN=135°,正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的外部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分別與正方形ABCD的邊CB,CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M,N,連接MN.
①如圖1,若BM=DN,則線(xiàn)段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
②如圖2,若BM≠DN,請(qǐng)判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)如圖3,當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的內(nèi)部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分別與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)M,N,探究:以線(xiàn)段BM,MN,DN的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是何種三角形,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)①M(fèi)N=BM+DN;②成立;(2)直角三角形.
【解析】試題(1)①如圖1,先證明△ADN≌△ABM,得到AN=AM,∠NAD=∠MAB,得到∠NAD=∠MAB=67.5°.作AE⊥MN于E,由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出MN=2NE,∠NAE=67.5°.再證明△ADN≌△AEN,得出DN=EN,進(jìn)而得到MN=BM+DN;
②如圖2,先證明△ABM≌△ADP,得出AM=AP,∠1=∠2=∠3,再計(jì)算出∠PAN=135°.然后證明△ANM≌△ANP,得到MN=PN,進(jìn)而得到MN=BM+DN;
(2)如圖3,將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADE,連結(jié)NE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. 先證明△AMN≌△AEN.得到MN=EN.由DN,DE,NE為直角三角形的三邊,得到以線(xiàn)段BM,MN,DN的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.
試題解析:(1)①如圖1,若BM=DN,則線(xiàn)段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+DN.理由如下:
在△ADN與△ABM中,∵AD=AB,∠ADN=∠ABM,DN=BM,∴△ADN≌△ABM(SAS),∴AN=AM,∠NAD=∠MAB,∵∠MAN=135°,∠BAD=90°,∴∠NAD=∠MAB=(360°﹣135°﹣90°)=67.5°,作AE⊥MN于E,則MN=2NE,∠NAE=∠MAN=67.5°.在△ADN與△AEN中,∵∠ADN=∠AEN,∠NAD=∠NAE,AN=AN,∴△ADN≌△AEN(AAS),∴DN=EN,∵BM=DN,MN=2EN,∴MN=BM+DN.故答案為:MN=BM+DN;
②如圖2,若BM≠DN,①中的數(shù)量關(guān)系仍成立.理由如下:
延長(zhǎng)NC到點(diǎn)P,使DP=BM,連結(jié)AP.∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABM=∠ADC=90°.在△ABM與△ADP中,∵AB=AD,∠ABM=∠ADP,BM=DP,∴△ABM≌△ADP(SAS),∴AM=AP,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,∵∠MAN=135°,∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣(∠3+∠4)=360°﹣135°﹣90°=135°.在△ANM與△ANP中,∵AM=AP,∠MAN=∠PAN,AN=AN,∴△ANM≌△ANP(SAS),∴MN=PN,∵PN=DP+DN=BM+DN,∴MN=BM+DN;
(2)以線(xiàn)段BM,MN,DN的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.理由如下:
如圖3,將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADE,連結(jié)NE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. ∵∠MAN135°,∴∠EAN360°∠MAN∠EAM =135°,∴∠EAN =∠MAN.在△AMN與△AEN中,∵AM=AE,∠MAN=∠EAN,AN=AN,∴△AMN≌△AEN.∴MN=EN.∵DN,DE,NE為直角三角形的三邊,∴以線(xiàn)段BM,MN,DN的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)、點(diǎn)在網(wǎng)格中的位置如圖所示.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,使點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、;
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)的位置,連接、、,
(3)若各項(xiàng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)均乘以在圖中做出對(duì)應(yīng)圖形;
(4)與的位置關(guān)系為______;的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)在一個(gè)寬度為w的小巷內(nèi),一個(gè)梯子長(zhǎng)為a,梯子的腳位于A點(diǎn),將梯子的頂端放在一堵墻上Q點(diǎn)時(shí),Q離開(kāi)地面的高度為k,梯子與地面的夾角為45°:將該梯子的頂端放在另一堵墻上R點(diǎn)時(shí),R點(diǎn)離開(kāi)地面的高度為h,且此時(shí)梯子與地面的夾角為75°,則小巷寬度w=( )
A.hB.kC.aD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出發(fā),以1cm/s的速度向點(diǎn)A、C運(yùn)動(dòng),連接AF、CE,取AF、CE的中點(diǎn)G、H,連接GE、FH.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts(0<t<4).
(1)求證:AF∥CE;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形EHFG為菱形;
(3)試探究:是否存在某個(gè)時(shí)刻t,使四邊形EHFG為矩形,若存在,求出t的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E,F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°,將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.
(1)求證:EF=MF;
(2)若AE=2,求FC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,DE∥AB,分別交BC、AC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且CF=DE.
(1)求證:△CEF是等腰三角形;
(2)連接AD,當(dāng)AD⊥BC,BC=8,△CEF的周長(zhǎng)為16時(shí),求△DEF的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的面積是64,點(diǎn)F在邊AD上,點(diǎn)E在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上.若CE⊥CF,且△CEF的面積是50,則DF的長(zhǎng)度是____ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,若S△ADE=16cm2,S△EFC=49cm2, 求①,②S△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ACD和△BCE中, AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠BPD的度數(shù)為( 。
A.110°B.125°C.130°D.155°
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