Question

17．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，半徑OA=3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，證得OD∥AC，證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線；
（2）連接BE，AD，AB是直徑，∠AEB=∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C，BD=DC，通過(guò)解直角三角形求得AD，根據(jù)勾股定理得出BD，進(jìn)而求得BC，解直角三角形BCE求得BE，然后根據(jù)勾股定理即可求得AE．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：連接BE，AD，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，BD=DC，
∵sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠ABC=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=2OA=6，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴BC=2BD=4$\sqrt{6}$，
在RT△BEC中，∵sinC=$\frac{BE}{BC}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4$\sqrt{6}$=4$\sqrt{2}$，
在RT△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理的應(yīng)用以及直角三角函數(shù)等，是一道綜合題，難度中等．