Question

如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點P．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若CP=2，PF=8，求AC的長；
（3）過點D作DG∥BE交EF于點G，過G作GH∥DE交DF于點H，則易知△DHG是等邊三角形；設(shè)等邊△ABC、△BDC、△DHG的面積分別為S₁、S₂、S₃，試探究S₁、S₂、S₃之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OB，只要證明∠OBE=90°即可求解；
（2）連接PB，易證∠CPB=∠CBF，則可以得到△CPB∽△CBF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得證；
（3）作出DG與GH，易證AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證．

解答：（1）證明：連接OB，由題意得，
∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠OBC=30°∠CBE=60°，
則∠OBE=90°，
∴BE是⊙O的切線；

（2）解：連接PB，
∵∠A=∠60°
∴∠CPB=120°，
∵∠CBF=120°，
∴∠CPB=∠CBF，
∵∠BCF=∠BCP，
∴△CPB∽△CBF，
∴

CP

CB

=

CB

CF

即CB²=CP•CF
∵AC=CB
∴AC²=CP•CF，
∵CP=2，PF=8，
∴AC=

80

=4

5

；

（3）解：根據(jù)題意，作出DG與GH，
由題意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG
∴

AB

BD

=

CE

EG

=

BD

DH

∵

S1

S2

=（

AB

BD

）²

S2

S3

=（

BD

DH

）²
∴

S1

S2

=

S2

S3

，即S₂²=S₁•S₃
∴所求的數(shù)量關(guān)系是S₂²=S₁•S₃．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．