Question

如圖，⊙O的直徑CD=4，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=2，BC=6，P是⊙O上的一個動點．
（1）求證：OA⊥AB；
（2）若△APB的面積記為S，求S的最大值與最小值，并分別指出此時P點所在的位置；
（3）若以P為圓心，BP長為半徑作圓，是否存在⊙P與⊙O相切？請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過A點作AE⊥BC于E，易得四邊形ADCE為矩形，得出EC，AD的關系，BE及AE，DC的長，即可得到△ABE為等腰直角三角形，所以∠BAE=45°，利用△ADO為等腰直角三角形，
得出∠OAD=45°，可得出∠OAB=∠OAE+∠BAE=90°，即OA⊥AB；
（2）設AO及延長線交圓于P₁、P₂點，過P₁作P₁F∥AB交BC于F點，可得出P₁到AB的距離最短，P₂到AB的距離最長，利用三角形的面積公式即可求出S的最大值與最小值，
（3）不存在⊙P與⊙O相切．P在圓上，利用r＜R-r即可得出不存在⊙P與⊙O相切．

解答：（1）證明：如圖1，過A點作AE⊥BC于E，

∵AD⊥DC，BC⊥DC，
∴四邊形ADCE為矩形      
∴EC=AD=2，
∴BE=6-2=4，AE=DC=4
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAE=45°，
∵△ADO為等腰直角三角形，
∴∠AOD=∠OAD=45°，
∵AE∥DC，
∴∠OAE=45°，
∴∠OAB=∠OAE+∠BAE=90°，
∴OA⊥AB．

（2）解：如圖2，設AO及延長線交圓于P₁、P₂點，過P₁作P₁F∥AB交BC于F點，

∵OA⊥AB，
∴P₁到AB的距離最短，P₂到AB的距離最長，
∵△ADO為等腰直角三角形，
∴AO=2

2

，AP₁=2

2

-2，AP₂=2

2

+2，
由（1）可得AB=4

2

，
∴S的最小值為

1

2

AB•AP₁=

1

2

×4

2

×（2

2

-2）=8-4

2

，最大值為

1

2

AB•AP₂=

1

2

×2

2

×（2

2

+2）=8+4

2

．

（3）解：不存在⊙P與⊙O相切．
∵BO=

BC2+OC2

=2

10

，
∴BP的最大值為=2

10

+2，最小值為=2

10

-2，OP=2，
∵P在圓上，
∴兩圓的半徑之差的范圍2

10

-4≤R-r≤2

10

，而r=2＜2

10

-4，
∴兩圓不可能相切．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及圓，等腰直角三角形及勾股定理等知識，解題的關鍵是理清題意，正確作出輔助線，靈活運用等腰三角形的性質求出線段的關系．