【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax2bxca≠0)經(jīng)過點D24),與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C0,4),連接AC,CDBC, 其且AC=5

1)求拋物線的解析式;

2)如圖②,點P是拋物線上的一個動點,過點Px軸的垂線l,l分別交x軸于點E,交直線AC于點M.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.當(dāng)0<m≤2時,過點MMGBCMGx軸于點G,連接GC,則m為何值時,△GMC的面積取得最大值,并求出這個最大值;

3)當(dāng)-1<m≤2時,是否存在實數(shù)m,使得以P,C,M為頂點的三角形和△AEM相似?若存在,求出相應(yīng)m的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x2+x+4;(2)當(dāng)m=時,S最大,即S最大=2;(32

【解析】

1)先通過勾股定理求的點A的坐標(biāo),把AC、D三點坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式;

2)由A、C坐標(biāo)可求得直線AC解析式,再用m表示出點M坐標(biāo),表示出ME,再由△BCO∽△GME可表示出GE,求得OG,再利用面積的和差可得到△GMC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;

3)分∠CPM90°和∠PCM90°兩種情況,當(dāng)∠CPM90°時,可得PCx軸,容易求得P點坐標(biāo)和m的值;當(dāng)∠PCM90°時,設(shè)PCx軸于點F,可利用相似三角形的性質(zhì)先求得F點坐標(biāo),可求得直線CF的解析式,再聯(lián)立拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)和相應(yīng)的m的值.

解(1)∵點C0,4),

OC4,

AC5

∴在Rt△AOC中,∠AOC90°

OA

∴ A30

A3,0)、C0,4D2,4)代入拋物線yax2bxca≠0)中

,

解得,

拋物線解析式為y=-x2x4;

2)由A3,0),C04)可得直線AC解析式為y=-x4,

∴M坐標(biāo)為(m,-m4),

∵MG∥BC,

∴∠CBO∠MGE,且∠COB∠MEG90°,

∴△BCO∽△GME

,即,

∴GE=-m1,

∴OGOEGEm1

,

當(dāng)m時,S最大,即S最大2

3)根據(jù)題意可知△AEM是直角三角形,而△MPC中,∠PMC∠AME為銳角,

∴△PCM的直角頂點可能是PC,

第一種情況:當(dāng)∠CMPM90°時,如圖,

CP∥x軸,此時點P與點D重合,

P24),此時m2;

第二種情況:當(dāng)∠PCM90°時,如圖,

如圖,延長PCx軸于點F,由△FCA∽△COA,得,

∴AF,

∴OF,

∴F(-,0),

直線CF的解析式為yx4,

聯(lián)立直線CF和拋物線解析式可得,

解得,

∴P坐標(biāo)為(,),此時m

綜上可知存在滿足條件的實數(shù)m,其值為2

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2)若,求的度數(shù);

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1)求b的取值范圍;

2)若b取滿足條件的最大整數(shù)值,當(dāng)m≤x≤時,函數(shù)y的取值范圍是n≤y≤6-2m,求m,n的值;

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如圖1,點EF分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EFFD之間的數(shù)量關(guān)系.

小聰把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°ADG,通過證明AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD

【類比引申】

1)如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EFBE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

【聯(lián)想拓展】

2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.

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