【題目】“十字相乘法”能把二次三項式分解因式,對于形如ax2+bxy+cy2的x,y二次三項式來說,方法的關(guān)鍵是把x2項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1,a2的積,即a=a1a2,把y2項系數(shù)c分解成兩個因數(shù),c1,c2的積,即c=c1c2,并使a1c2+a2c1正好等于xy項的系數(shù)b,那么可以直接寫成結(jié)果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y)
例:分解因式:x2﹣2xy﹣8y2
解:如右圖,其中1=1×1,﹣8=(﹣4)×2,而﹣2=1×(﹣4)+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2=(x﹣4y)(x+2y),而對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解,
如圖1,將a分解成mn乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則,則原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);
例:分解因式:x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解:如圖2,其中1=1×1,﹣3=(﹣1)×3,2=1×2;
而2=1×3+1×(﹣1),1=(﹣1)×2+3×1,3=1×2+1×1;∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=(x﹣y+1)(x+3y+2)
請同學(xué)們通過閱讀上述材料,完成下列問題:
(1)分解因式:6x2﹣7xy+2y2= x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6=
(2)若關(guān)于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積,求m的值.
(3)已知x,y為整數(shù),且滿足x2+3xy+2y2+2x+4y=﹣1,求x,y.
【答案】(1)(2x﹣1)(3x﹣2);(x﹣2y﹣2)(x﹣4y﹣3)(2)43或者﹣78(3)當(dāng)x=﹣7時,y=4;當(dāng)x=﹣1時,y=0
【解析】
(1)結(jié)合題意畫出圖形,即可得出結(jié)論;
(2)結(jié)合題意畫出圖形,即可得出結(jié)論;
(3)將等式左邊先用十字相乘法分解因式,再提取公因式,將右邊﹣1改寫成1×(﹣1)的形式,由x、y均為整數(shù)可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組,解方程組即可得出結(jié)論.
解:(1)如圖3,
其中6=2×3,2=(﹣1)×(﹣2);而﹣7=2×(﹣3)+3×(﹣1);
∴6x2﹣7xy+2y2=(2x﹣y)(3x﹣2y).
如圖4,
其中1×1=1,(﹣2)×(﹣4)=8,(﹣2)×(﹣3)=6;
而﹣6=1×(﹣4)+1×(﹣2),﹣5=1×(﹣3)+1×(﹣2),14=(﹣2)×(﹣3)+(﹣4)×(﹣2);
∴x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6=(x﹣2y﹣2)(x﹣4y﹣3).
故答案為:(2x﹣1)(3x﹣2);(x﹣2y﹣2)(x﹣4y﹣3).
(2)如圖5,
∵關(guān)于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積,
∴存在:其中1×1=1,9×(﹣2)=﹣18,(﹣8)×3=﹣24;
而7=1×(﹣2)+1×9,﹣5=1×(﹣8)+1×3,m=9×3+(﹣2)×(﹣8)=43或m=9×(﹣8)+(﹣2)×3=﹣78.
故若關(guān)于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積,m的值為43或者﹣78.
(3)∵x2+3xy+2y2+2x+4y=(x+2y)(x+y)+2(x+2y)=(x+2y)(x+y+2)=﹣1=1×(﹣1),且x、y為整數(shù),
∴有,或,
解得:或.
故當(dāng)x=﹣7時,y=4;當(dāng)x=﹣1時,y=0.
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【題目】霧霾是對大氣中各種懸浮顆粒物含量超標(biāo)的籠統(tǒng)表述,霧霾的主要危害可歸納為兩種:一是對人體產(chǎn)生危害,二是對交通產(chǎn)生危害.霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài),成都市區(qū)冬天霧霾天氣比較嚴重,很多家庭興起了為家里添置“空氣清潔器”的熱潮,為此,我市某商場根據(jù)民眾健康要,代理銷售某種進價為600元/臺的家用“空氣清潔器”.經(jīng)過市場銷售后發(fā)現(xiàn):在一個月內(nèi),當(dāng)售價是700元/臺時,可售出350臺,且售價每提高10元,就會少售出5臺.
(1)試確定月銷售量y(臺)與售價x(元/臺)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請計算當(dāng)售價x(元臺)定為多少時,該商場每月銷售這種“空氣清潔器”所獲得的利潤W(元)最大?最大利潤是多少?
(3)若政府計劃遴選部分商場,將銷售“空氣清潔器”納入民生工程項目,規(guī)定:每銷售一臺“空氣淸潔器”,財政補貼商家200元,但銷售利潤不能高于進價的25%,請問:該商場想獲取最大利潤,是否參與競標(biāo)此民生工程項目?并說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(0,1),點B是x軸正半軸上一點,以AB為邊作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,點C在第一象限,若點C在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,則△ABC的面積為( 。
A. 1B. 2C. D. 3.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,CD切⊙O于點D,AC⊥CD于點C,交⊙O于點E,連接AD、BD、ED.
(1)求證:BD=ED;
(2)若CE=3,CD=4,求AB的長.
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【題目】某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動,凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠,本次活動共有兩種方式,方式一:轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲,指針指向A區(qū)域時,所購買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其它區(qū)域無優(yōu)惠;方式二:同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙,若兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同,所購買物品享受8折優(yōu)惠,其它情況無優(yōu)惠.在每個轉(zhuǎn)盤中,指針指向每個區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線,則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤)
(1)若顧客選擇方式一,則享受9折優(yōu)惠的概率為多少;
(2)若顧客選擇方式二,請用樹狀圖或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率.
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【題目】如圖,∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P,BE=BC,PB與CE交于點H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列結(jié)論:①GA=GP;②S△PAC:S△PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④FP=FC;其中正確的判斷有( )
A. 只有①②B. 只有③④C. 只有①③④D. ①②③④
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【題目】某校在一次大課間活動中,采用了四鐘活動形式:A、跑步,B、跳繩,C、做操,D、游戲.全校學(xué)生都選擇了一種形式參與活動,小杰對同學(xué)們選用的活動形式進行了隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合統(tǒng)計圖,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查學(xué)生共 人, = ,并將條形圖補充完整;
(2)如果該校有學(xué)生2000人,請你估計該校選擇“跑步”這種活動的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校讓每班在A、B、C、D四鐘活動形式中,隨機抽取兩種開展活動,請用樹狀圖或列表的方法,求每班抽取的兩種形式恰好是“跑步”和“跳繩”的概率.
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【題目】以下說法正確的有( 。
①正八邊形的每個內(nèi)角都是135°
②與是同類二次根式
③長度等于半徑的弦所對的圓周角為30°
④反比例函數(shù)y=﹣,當(dāng)x<0時,y隨x的增大而增大.
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】某專賣店準(zhǔn)備購進甲、乙兩種運動鞋,其進價和售價如下表所示。已知用3000元購進甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進乙種運動鞋的數(shù)量相同.
運動鞋價格 | 甲 | 乙 |
進價元/雙) | m | m-30 |
售價(元/雙) | 300 | 200 |
(1)求m的值;
(2)要使購進的甲,乙兩種運動鞋共200雙的總利潤不少于21700元且不超過22300元,問該專賣店有幾種進貨方案?
(3)在(2)的條件下,專賣店決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a(60<a<80)元出售,乙種運動鞋價格不變,那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進貨?
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