Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且AD=AE=1，連接DE并延長(zhǎng)，與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)∠B=30°，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長(zhǎng)；
﹙2﹚若CE=2，BD=BC，求tan∠BPD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）易求得∠AED=60°，∠PAE=30°，即可求得EP=AE，易求得∠EPC=30°，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半性質(zhì)即可解題；
（2）作AF⊥DE，設(shè)BD=BC=x，根據(jù)勾股定理可求得x的值，即可求得cos∠BAC的值，根據(jù)余弦定理可以求得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)即可求得tan∠EAF的值，易證△AEF∽△PEC，可得∠BPD=∠EAF，即可解題．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠AED=60°
∵△AEP∽△BDP，∴∠PAE=30°，
∵∠AED=∠PAE+∠APE，
∴∠APE=∠PAE=30°，
∴EP=AE=1，
∵∠PEC=∠AED=60°，∠ACP=90°，
∴∠EPC=30°，
∴CE=

1

2

PE=

1

2

；
（2）作AF⊥DE，

設(shè)BD=BC=x，
∵AB²=AC²+BC²，
∴（x+1）²=3²+x²，
解得：x=4，
∴cos∠BAC=

3

5

，
∵AD²+AE²-2AD•AE•cos∠BAC=DE²，
∴DE=

2 5

5

，
∴EF=DF=

5

5

，
∵AE²=AF²+EF²，
∴AF=

2 5

5

，
∴tan∠EAF=

1

2

，
∵∠AFE=∠PCE=90°，∠AEF=∠PEC，
∴△AEF∽△PEC，
∴∠BPD=∠EAF，
∴tan∠BPD=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)，考查了30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求證△AEF∽△PEC是解題的關(guān)鍵．