【題目】已知直線ykx+b經(jīng)過點(diǎn)A0,2),B(﹣40)和拋物線yx2

1)求直線的解析式;

2)將拋物線yx2沿著x軸向右平移,平移后的拋物線對稱軸左側(cè)部分與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸右側(cè)部分拋物線與直線ykx+b交于點(diǎn)D,連接CD,當(dāng)CDx軸時(shí),求平移后得到的拋物線的解析式;

3)在(2)的條件下,平移后得到的拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E,P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線對稱軸的垂線,垂足為Q,是否存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)E,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1yx+2;(2yx24x+4;(3)(,),(,),(0,4)或(4,4).

【解析】

1)根據(jù)點(diǎn)AB的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;

2)設(shè)平移后拋物線的解析式為y=(xm2m0),則平移后拋物線的對稱軸為直線xm,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m2),由CDx軸,可得出點(diǎn)CD關(guān)于直線xm對稱,進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo),再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;

3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a24a+4),則PQ|a2|,EQa24a+4,由∠PQE90°可得出EQP∽△AOBPQE∽△AOB,①當(dāng)EQP∽△AOB時(shí),利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于a的方程,解之即可得出a值,將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論;②當(dāng)PQE∽△AOB時(shí),利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于a的方程,解之即可得出a值,將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.綜上,此題得解.

解:(1)將A0,2),B(﹣4,0)代入ykx+b,得:

,解得:

∴直線AB的解析式為yx+2

2)如圖1,設(shè)平移后拋物線的解析式為y=(xm2m0),則平移后拋物線的對稱軸為直線xm,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m2).

CDx軸,

∴點(diǎn)C,D關(guān)于直線xm對稱,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,m2).

∵點(diǎn)D在直線yx+2上,

m2×2m+2

解得:m1=﹣1(舍去),m22

∴平移后拋物線的解析式為y=(x22,即yx24x+4

3)存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)E,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a24a+4),則PQ|a2|,EQa24a+4

∵∠PQE90°

∴分兩種情況考慮,如圖2所示.

①當(dāng)EQP∽△AOB時(shí),,即,

化簡,得:|a2|,

解得:a1,a2,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或();

②當(dāng)PQE∽△AOB時(shí),,即,

化簡,得:|a2|2,

解得:a10a24,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4)或(44).

綜上所述:存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)E,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,),(,),(0,4)或(44).

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【題目】如圖,拋物線軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱.

1)求點(diǎn),,的坐標(biāo);

2)求直線的解析式;

3)在直線下方的拋物線上是否存在一點(diǎn),使的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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A.B.C.D.

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【題目】拋物線yx2+bx+3的對稱軸為直線x1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3t0t為實(shí)數(shù))在﹣2x3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根,則t的取值范圍是( 。

A.12<t3B.12<t4C.12<t4D.12<t3

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【題目】給定一個(gè)函數(shù),如果這個(gè)函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn),它的橫、縱坐標(biāo)相等,那么這個(gè)點(diǎn)叫做該函數(shù)的不變點(diǎn).

1)一次函數(shù)的不變點(diǎn)的坐標(biāo)為______

2)二次函數(shù)的兩個(gè)不變點(diǎn)分別為點(diǎn)的左側(cè)),將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo).

3)已知二次函數(shù)的兩個(gè)不變點(diǎn)的坐標(biāo)為

①求的值;

②如圖,設(shè)拋物線與線段圍成的封閉圖形記作.點(diǎn)為一次函數(shù)的不變點(diǎn),以線段為邊向下作正方形.當(dāng)兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在封閉圖形的內(nèi)部(不包含邊界)時(shí),求出的取值范圍.

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【題目】如我們把函數(shù)沿軸翻折得到函數(shù),函數(shù)與函數(shù)的圖象合起來組成函數(shù)的圖象.若直線與函數(shù)的圖象剛好有兩個(gè)交點(diǎn),則滿足條件的的值可以為_______________(填出一個(gè)合理的值即可)

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A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

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1)求拋物線的解析式以及點(diǎn)的坐標(biāo);

2)已知直線于點(diǎn),交于點(diǎn),交于點(diǎn),交拋物線(上方部分)于點(diǎn),請用含的代數(shù)式表示的長;

3)在(2)的條件下,連接,若相似,求的值.

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A.B.C.D.

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