Question

9．規(guī)律探究
有若干個(gè)數(shù)，第1個(gè)數(shù)記為a₁，第2個(gè)數(shù)記為a₂，第3個(gè)數(shù)記為a₃，…，第n個(gè)數(shù)記為a_n．若a₁=$-\frac{1}{2}$，從第2個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于1與它前面的那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)．
（1）求a₄、a₅的值；
（2）試求a₂₀₀₈的值并說明理由；
（3）試探究a_n的值并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意依次計(jì)算出a₄、a₅的值；
（2）發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)一循環(huán)，所以令2008÷3看余數(shù)是幾，就是第幾個(gè)數(shù)；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)n÷3余數(shù)為1、2、3時(shí)，分別得出結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，a₅=$\frac{1}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，
（2）由（1）得：a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=3，a₄=-$\frac{1}{2}$，
發(fā)現(xiàn)：三個(gè)數(shù)一循環(huán)，
所以，2008÷3=669…余1，
則a₂₀₀₈=-$\frac{1}{2}$
（3）分三種情況：①當(dāng)n÷3余1時(shí)，a_n=-$\frac{1}{2}$，
②當(dāng)n÷3余2時(shí)，a_n=$\frac{2}{3}$，
③當(dāng)n÷3整除時(shí)，a_n=3．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)字類變化規(guī)律題，此類題形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考并發(fā)現(xiàn)規(guī)律．思路為：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，依次按要求進(jìn)行計(jì)算，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．有時(shí)也會(huì)利用方程解決問題．