Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線以每秒5個單位長度的速度運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)Q停止1秒，然后繼續(xù)運(yùn)動．分別連結(jié)PQ、BQ．設(shè)的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為秒．

（1）求點(diǎn)A與BC之間的距離．

（2）當(dāng)時，求的值．

（3）求S與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）當(dāng)線段PQ與的某條邊垂直時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）或；（3）當(dāng)0＜t≤1時，；當(dāng)1＜t≤2時，；當(dāng)2＜t≤3時，；（4）或或．

【解析】

（1）作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用等腰三角形的三線合一可得BD＝3，再利用勾股定理即可求得AD的長；

（2）分兩種情況討論，當(dāng)0＜t≤1時，點(diǎn)Q在AC上；當(dāng)2＜t≤3時，點(diǎn)Q在AB上，先用含t 的代數(shù)式表示BP和AQ的長，再根據(jù)列出方程求解即可；

（3）分三種情況討論，當(dāng)0＜t≤1時，點(diǎn)Q在AC上，當(dāng)1＜t≤2時，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合；當(dāng)2＜t≤3時，點(diǎn)Q在AB上，畫出相應(yīng)的圖形，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表示出QE的長，進(jìn)而可得S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）分三種情況討論，當(dāng)PQ⊥AC時，當(dāng)PQ⊥BC時，當(dāng)PQ⊥AB時，畫出相應(yīng)的圖形，利用相似三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．

（1）如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D．

∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，BC＝6，

∴BD＝BC＝3．

∴在Rt△ABD中，AD＝．

（2）當(dāng)0＜t≤1時，由題意可知：BP＝2t，AQ＝5－5t，

∵，

∴，

解得．

當(dāng)2＜t≤3時，由題意可知：BP＝2t，AQ＝5(t－2)＝5t－10，

∵，

∴，

解得．

綜上所述，當(dāng)時，的值為或．

（3）當(dāng)0＜t≤1時，如圖，點(diǎn)Q在AC上，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，

∵AD⊥BC，QE⊥BC，

∴AD∥QE，

∴△QEC∽△ADC，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

當(dāng)1＜t≤2時，如圖，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，

則，

∴；

當(dāng)2＜t≤3時，如圖，點(diǎn)Q在AB上，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，

∵AD⊥BC，QE⊥BC，

∴AD∥QE，

∴△QEB∽△ADB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤1時，；當(dāng)1＜t≤2時，；當(dāng)2＜t≤3時，；

（4）當(dāng)PQ⊥AC時，如圖，

∵AD⊥BC，PQ⊥AC，

∴∠ADC＝∠PQC＝90°，

又∵∠C＝∠C，

∴△PQC∽△ADC，

∴，

∴，

解得：，

當(dāng)PQ⊥BC時，

由題意可知此時點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，如圖，

則BP＝BD＝3，

∴2t＝3，

解得：，

當(dāng)PQ⊥AB時，如圖，

∵AD⊥BC，PQ⊥AB，

∴∠ADB＝∠PQB＝90°，

又∵∠B＝∠B，

∴△PQB∽△ADB，

∴，

∴，

解得：，

綜上所述：當(dāng)線段PQ與的某條邊垂直時，t的值為或或．