【題目】如圖,點C為線段BD上的一點,△ABC和△CDE是等邊三角形.

1)求證:AD=BE.

2)以點C為中心,將△CDE逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為ɑ(0°ɑ360°).

①當(dāng)ɑ為多少時DEAB?直接寫出結(jié)果,不要求證明.

②當(dāng)BC=6, CD=4 ,設(shè)點E到直線AB的距離為y, 當(dāng)ɑ為多少時,點E到直線AB的距離最。壳蟪鲎钚≈,并簡潔說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2120°或300°;(3,,證明見解析.

【解析】

1)利用SAS證明△BCE≌△ACD,從而得到結(jié)論;

2)①分兩種情況:當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)到與CB重合時,DEAB;當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)到BC延長線上時,DEAB,從而進行分析即可;

②當(dāng)點E旋轉(zhuǎn)到AB邊上的高線上時,到直線AB的距離最小,利用勾股定理可求出,再利用三角形三邊關(guān)系及垂線段性質(zhì)即可證明.

1)證明:∵△ABC和△CDE是等邊三角形,

BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60°,

∴∠BCA+ACE=ECD+ACE,即∠BCE=ACD,

∴△BCE≌△ACDSAS

AD=BE;

2)解:①情況一:當(dāng) 時,DEAB,證明如下:

當(dāng) 時,此時CE旋轉(zhuǎn)到與CB重合,

∵△ABC和△CDE是等邊三角形,

∴∠DEC=ABC=60°

DEAB(同位角相等,兩直線平行);

情況二:當(dāng) 時,DEAB,證明如下:

當(dāng) 時,此時CE旋轉(zhuǎn)到BC延長線上,

∵△ABC和△CDE是等邊三角形,

∴∠DEC=ABC=60°,

DEAB(內(nèi)錯角相等,兩直線平行);

②如圖,當(dāng)時,點E旋轉(zhuǎn)至點E',此時點E'AB的距離最短,NCAB,

RtANC中,AC=6,AN=,

NC=

,

如圖,QE旋轉(zhuǎn)任意角度后所對應(yīng)的點,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知,CQ+QMMC

根據(jù)垂線段最短可知,CE'+NE'MCCQ+QM,當(dāng)點Q與點E'重合時取等號,即:NE'≤QM,

所以當(dāng)時,點E到直線AB的距離最小,最小值為.

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