Question

【試題背景】
已知：l∥m∥n∥k，平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我們把四個頂點分別在l、m、n、k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．

【探究1】
（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，BE⊥l于點E，BE的反向延長線交直線k于點F，求正方形ABCD的邊長．
【探究2】
（2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬=2：1，則矩形ABCD的寬為

 

．（直接寫出結果即可）
【探究3】
如圖2，菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC=60°，△AEF是等邊三角形，AE⊥k于點E，∠AFD=90°，直線DF分別交直線l、k于點G、點M．求證：EC=DF．
【拓展】
（4）如圖3，l∥k，等邊△ABC的頂點A、B分別落在直線l、k上，AB⊥k于點B，且AB=4，∠ACD=90°，直線CD分別交直線l、k于點G、點M，點D、點E分別是線段GM、BM上的動點，且始終保持AD=AE，DH⊥l于點H．
猜想：DH在什么范圍內(nèi)，BC∥DE？并說明此時BC∥DE的理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）證明△ABE≌△BCF，即可求得AE的長，然后利用勾股定理即可求解；
（2）過B作BE⊥l于點E，交k于點F，易證△AEB∽△BCF，然后分AB是長和AB是寬兩種情況進行討論求得；
（3）連接AC，證明直角△AEC≌直角△AFD即可證得；
（4）首先證明AM⊥BC，然后證明Rt△ABE≌Rt△ACD，得到∠BAE=∠CAD，則AM⊥ED，即可證得BC∥DE．

解答：解：（1）∵l∥k，BE⊥l，
∴∠BFC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
∵d₁=d₃=1，d₂=2，
∴BE=3，AE=1，
在直角△ABE中，AB=

BE2+AE2

=

32+12

=

10

，
即正方形的邊長是

10

；

（2）過B作BE⊥l于點E，反向延長BE交k于點F．
則BE=1，BF=3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
當AB是較短的邊時，如圖（a），
AB=

1

2

BC，則AE=

1

2

BF=

3

2

，
在直角△ABE中，AB=

12+( 3 2 )2

=

13

2

；
當AB是長邊時，如圖（b），
同理可得：BC=

37

2

；
故答案為：

13

2

或

37

2

；

（3）證明：如解答圖②，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，
∴AC=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD=90°，
∴直角△AEC≌直角△AFD，
∴EC=DF；

（4）當2＜DH＜4時（C點離l的距離為2，D點必在C點下方），BC∥DE．理由如下：
如圖③，當2＜DH＜4時，點D在線段CM上，連接AM．
∵∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM，
∴∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
又∵AD=AE，AB=AC，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠EAM=∠DAM，
∴AM⊥ED．
∴BC∥DE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確構造相似的三角形是關鍵．