Question

【題目】若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．
（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；
（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時，y2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣h）2+k，

當(dāng)a=2，h=3，k=4時，

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x﹣3）2+4．

∵2＞0，

∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．

當(dāng)a=3，h=3，k=4時，

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x﹣3）2+4．

∵3＞0，

∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．

∵兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，

∴兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數(shù)”．

∴符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4

（2）解：∵y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），

∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．

整理得：m2﹣2m+1=0．

解得：m1=m2=1．

∴y1=2x2﹣4x+3

=2（x﹣1）2+1．

∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5

=（a+2）x2+（b﹣4）x+8

∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，

∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1

=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．

其中a+2＞0，即a＞﹣2．

∴ ．

解得： ．

∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x2﹣10x+5．

∴y2=5x2﹣10x+5

=5（x﹣1）2．

∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1．

∵5＞0，

∴函數(shù)y2的圖象開口向上．

①當(dāng)0≤x≤1時，∵函數(shù)y2的圖象開口向上，

∴y2隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=0時，y2取最大值，最大值為5×（0﹣1）2=5，

②當(dāng)1≤x≤3時，∵函數(shù)y2的圖象開口向上，

∴y2隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=3時，y2取最大值，

最大值為5（3﹣1）2=20．

綜上所述：當(dāng)0≤x≤3時，y2的最大值為20

【解析】（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可．（2）由y1的圖象經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．