【題目】若兩個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同,則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.
(1)請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值.
【答案】
(1)解:設(shè)頂點(diǎn)為(h,k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x﹣h)2+k,
當(dāng)a=2,h=3,k=4時(shí),
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(x﹣3)2+4.
∵2>0,
∴該二次函數(shù)圖象的開口向上.
當(dāng)a=3,h=3,k=4時(shí),
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(x﹣3)2+4.
∵3>0,
∴該二次函數(shù)圖象的開口向上.
∵兩個函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4頂點(diǎn)相同,開口都向上,
∴兩個函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.
∴符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為:y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4
(2)解:∵y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1.
整理得:m2﹣2m+1=0.
解得:m1=m2=1.
∴y1=2x2﹣4x+3
=2(x﹣1)2+1.
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
=(a+2)x2+(b﹣4)x+8
∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”,
∴y1+y2=(a+2)(x﹣1)2+1
=(a+2)x2﹣2(a+2)x+(a+2)+1.
其中a+2>0,即a>﹣2.
∴ .
解得: .
∴函數(shù)y2的表達(dá)式為:y2=5x2﹣10x+5.
∴y2=5x2﹣10x+5
=5(x﹣1)2.
∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1.
∵5>0,
∴函數(shù)y2的圖象開口向上.
①當(dāng)0≤x≤1時(shí),∵函數(shù)y2的圖象開口向上,
∴y2隨x的增大而減小,
∴當(dāng)x=0時(shí),y2取最大值,最大值為5×(0﹣1)2=5,
②當(dāng)1≤x≤3時(shí),∵函數(shù)y2的圖象開口向上,
∴y2隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=3時(shí),y2取最大值,
最大值為5(3﹣1)2=20.
綜上所述:當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值為20
【解析】(1)只需任選一個點(diǎn)作為頂點(diǎn),同號兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù),用頂點(diǎn)式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可.(2)由y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)可以求出m的值,然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式,然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值,掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減;如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題.
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【題目】如圖,將等邊△ABD沿BD中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△BDC.現(xiàn)給出下列命題:
①四邊形ABCD是菱形;
②四邊形ABCD是中心對稱圖形;
③四邊形ABCD是軸對稱圖形;
④AC=BD.
其中正確的是(寫上正確的序號).
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【題目】如圖,⊙O上有兩點(diǎn)A與P,且OA⊥OP,若A點(diǎn)固定不動,P點(diǎn)在圓上勻速運(yùn)動一周,那么弦AP的長度d與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是( )
A.①
B.③
C.①或③
D.②或④
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,寫出當(dāng)x取何值時(shí),y>0?
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【題目】如圖,P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=5,PB=4,PC=3,將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△CQB.求:
(1)點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離;
(2)求∠BPC的度數(shù).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn),AE=CF,連接EF、BF,EF與對角線AC交于點(diǎn)O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求證:OE=OF;
(2)求∠ACB的度數(shù).
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【題目】(1)在下列橫線上用含有a,b的代數(shù)式表示相應(yīng)圖形的面積.
①a2;②____________. ③b2 ; ④_________________.
(2)請?jiān)趫D④畫出拼圖并通過拼圖,你發(fā)現(xiàn)前三個圖形的面積與第四個圖形面積之間有什么關(guān)系?請用數(shù)學(xué)式子表達(dá): .
(3)利用(2)的結(jié)論計(jì)算10.232+20.46×9.77+9.772的值.
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【題目】結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離為|4﹣1|= ;表示5和﹣2兩點(diǎn)之間的距離為|5﹣(﹣2)|=|5+2|= ;一般地,數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|,如果表示數(shù)a和﹣2的兩點(diǎn)之間的距離是3,那么a= .
(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間,求|a+4|+|a﹣2|的值;
(3)當(dāng)a= 時(shí),|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小,最小值為 .
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