Question

7．如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-1），并且與x軸以及直線y=x+1分別交于點(diǎn)C、D．
（1）求直線BD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求四邊形AOCD的面積；
（3）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象可知直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）、（1，2），接下來(lái)利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到OA=1，OC=$\frac{1}{3}$，最后根據(jù)S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD求解即可；
（3）先依據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，然后分為DP=DB、PD=PB，BP=BD三種情況進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．
∵直線BD經(jīng)過(guò)D（1，2），B（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴直線BD的解析式為y=3x-1．
（2）∵將x=0代入y=x+1得：y=1，
∴A（0，1）．
∵將y=0代入y=3x-1得：x=$\frac{1}{3}$，
∴C（$\frac{1}{3}$，0）．
∵S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD，
∴S_{四邊形AOCD}=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$．
（3）∵BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴①當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，BP=BD時(shí)，P（0，-1$+\sqrt{10}$）或（0，-1-$\sqrt{10}$）．
②當(dāng)D為頂點(diǎn)時(shí)，DP=DB，則P（0，5）；
③當(dāng)P為頂點(diǎn)時(shí)，PD=PB，BD的中點(diǎn)為E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），設(shè)過(guò)點(diǎn)E垂直BD的直線為y=-$\frac{1}{3}$x+b′．
∵把點(diǎn)E代入得到b=$\frac{2}{3}$，
∴直線為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
∴點(diǎn)P為（0，$\frac{2}{3}$）．
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（0，5），（0，$-1-\sqrt{10}$），P（0，$\frac{2}{3}$），（0，-1$+\sqrt{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的求法、坐標(biāo)系中四邊形面積的求法、等腰三角形等有關(guān)知識(shí)、勾股定理的應(yīng)用，相互垂直的兩條直線的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)用分割法求面積是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，掌握相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1以及分類(lèi)討論是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．