Question

設(shè)M是邊長為2的正三角形ABC的邊AB上的中點，P是邊長BC上的任意一點，求PA+PM的最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,等邊三角形的性質(zhì)

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：作出A關(guān)于BC的對稱點A'，將PA+PM的最小值問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題，并利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理解答．

解答：解：作A關(guān)于BC的對稱點A'，連接MA'，作MF⊥AG．
∵A、A'關(guān)于BC對稱，
∴PA=PA'，
∴PA+PM=PA'+PM=MA'，
此時MA'的值即為PA+PM的最小值．
∵AG⊥BC，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴BG=CG=

1

2

BC=

1

2

×2=1．
∴AG=

22-12

=

3

．
∵M為AB的中點，MF⊥AG，
∴MF為△ABG的中位線，
∴MF=

1

2

BG=

1

2

，F(xiàn)G=

1

2

AG=

1

2

×

3

=

3

2

，F(xiàn)A'=FG+GA'=

3

+

3

2

=

3 3

2

，
∴A'M=

( 3 3 2 )2+( 1 2 )2

=

7

．

點評：此題結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)考查了軸對稱最短路徑問題，作出A的對稱點利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．