Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D．
（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作圓O，使圓O經(jīng)過點(diǎn)A、D，且圓心O在AB上；并標(biāo)出圓O與AB的另一個(gè)交點(diǎn)E，與AC的另一個(gè)交點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圖中．
①判斷直線BC與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；
②如果∠BAC=60°，CD=$\sqrt{3}$，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積（結(jié)果保留根號(hào)和π）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得：O點(diǎn)應(yīng)該是AD垂直平分線與AB的交點(diǎn)；
（2）①由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質(zhì)可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；
②設(shè)⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積的計(jì)算可以求得線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB-S_扇形ODE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

解答 解：（1）如圖1；

（2）①直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切．理由如下：
如圖1，連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
即直線BC是⊙O的切線，
∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切；

②如圖2，
∵∠BAC的角平分線AD交BC于D，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴BD=AD．
∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=$\sqrt{3}$，
∴AD=2CD=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$CD=3，
∴BD=2$\sqrt{3}$，AB=2AC=6．
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²，
即r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，
解得r=2，OB=6-r=4，
∵∠ODB=90°，∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S_扇形ODE=$\frac{60×π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
S_△ODB=$\frac{1}{2}$OD•BD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB-S_扇形ODE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了作圖-復(fù)雜作圖，切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積與三角形面積的求解方法等知識(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵．