如圖1,邊長為4的正方形ABCD中,點E在AB邊上(不與點A,B重合),點F在BC邊上(不與點B、C重合).
第一次操作:將線段EF繞點F順時針旋轉,當點E落在正方形上時,記為點G;
第二次操作:將線段FG繞點G順時針旋轉,當點F落在正方形上時,記為點H;
依此操作下去…
(1)圖2中的△EFD是經過兩次操作后得到的,其形狀為 ,求此時線段EF的長;
(2)若經過三次操作可得到四邊形EFGH.
①請判斷四邊形EFGH的形狀為 ,此時AE與BF的數(shù)量關系是 ;
②以①中的結論為前提,設AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關系式及面積y的取值范圍.
【考點】幾何變換綜合題.
【分析】(1)由旋轉性質,易得△EFD是等邊三角形;利用等邊三角形的性質、勾股定理求出EF的長;
(2)①四邊形EFGH的四邊長都相等,所以是正方形;利用三角形全等證明AE=BF;
②求面積y的表達式,這是一個二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質求出最值及y的取值范圍.
【解答】解:(1)如題圖2,由旋轉性質可知EF=DF=DE,則△DEF為等邊三角形.
在Rt△ADE與Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)
∴AE=CF.
設AE=CF=x,則BE=BF=4﹣x
∴△BEF為等腰直角三角形.
∴EF=BF=(4﹣x).
∴DE=DF=EF=(4﹣x).
在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE2+AD2=DE2,即:x2+42=[(4﹣x)]2,
解得:x1=8﹣4,x2=8+4(舍去)
∴EF=(4﹣x)=4﹣4.
DEF的形狀為等邊三角形,EF的長為4﹣4.
(2)①四邊形EFGH的形狀為正方形,此時AE=BF.理由如下:
依題意畫出圖形,如答圖1所示:
由旋轉性質可知,EF=FG=GH=HE,∠EFG=90°,∴四邊形EFGH的形狀為正方形.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.
∵∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4.
在△AEH與△BFE中,
∴△AEH≌△BFE(ASA)
∴AE=BF.
②利用①中結論,易證△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均為全等三角形,
∴BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4﹣x.
∴y=S正方形ABCD﹣4S△AEH=4×4﹣4×x(4﹣x)=2x2﹣8x+16.
∴y=2x2﹣8x+16(0<x<4)
∵y=2x2﹣8x+16=2(x﹣2)2+8,
∴當x=2時,y取得最小值8;當x=0時,y=16,
∴y的取值范圍為:8≤y<16.
【點評】本題是幾何變換綜合題,以旋轉變換為背景考查了正方形、全等三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、勾股定理、二次函數(shù)等知識點.本題難度不大,著重對于幾何基礎知識的考查,是一道好題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
某企業(yè)對每個員工在當月生產某種產品的件數(shù)統(tǒng)計如下:設產品件數(shù)為x(單位:件),企業(yè)規(guī)定:當x<15時為不稱職;當15≤x<20時為基本稱職;當20≤x<25為稱職;
當x≥25時為優(yōu)秀.解答下列問題
(1)試求出優(yōu)秀員工人數(shù)所占百分比;
(2)計算所有優(yōu)秀和稱職的員工中月產品件數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù);
(3)為了調動員工的工作積極性,企業(yè)決定制定月產品件數(shù)獎勵標準,凡達到或超過這個標準的員工將受到獎勵.如果要使得所有優(yōu)秀和稱職的員工中至少有一半能獲獎,你認為這個獎勵標準應定為多少件合適?簡述其理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB,AC上的點,且BE=AF,CE、BF交于點P.
(1)求證:CE=BF;
(2)求∠BPC的度數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,是雙曲線在第一象限的分支上的一個動點,連接并延長交另一分支于點,過點作軸的垂線,過點作軸的垂線,兩垂線交于點,隨著點的運動,點的位置也隨之變化.設點的坐標為,則、滿足的表達式為( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
在對物體做功一定的情況下,力(N)與此物體在力的方向上移動的距離(m)之間成反比例函數(shù)關系,其圖像如圖所示,且點在其圖像上,則當力達到10 N時,物體在力的方向上移動的距離是 m.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com