Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)0，直角邊BC在x軸的正半軸上，∠ACB=90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$）．點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交AB邊于點(diǎn)E，將∠ABC沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)F處．若△AEF為直角三角形．求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的定義可分三種情況考慮：①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，通過(guò)角的計(jì)算得出∠OED=45°=60°，自相矛盾，故此種情況不存在；②當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，根據(jù)角的計(jì)算得出∠FAC=30°，結(jié)合A點(diǎn)的坐標(biāo)利用∠FAC的正切值可求出CF的長(zhǎng)，再由邊與邊的關(guān)系即可得出OF的長(zhǎng)，從而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)；③當(dāng)∠EAF=90°時(shí)，根據(jù)角的計(jì)算得出∠CAF=30°，結(jié)合A點(diǎn)的坐標(biāo)利用∠CAF的正切值可求出CF的，再由邊與邊的關(guān)系即可得出OF的長(zhǎng)，從而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)．綜合以上3種情況即可得出結(jié)論．

解答 解：△AEF為直角三角形分三種情況：
①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，
∵∠OED=∠FED，且∠OED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠OED=45°．
∵∠ACB=90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），
∴tan∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠ABC=30°．
∵ED⊥x軸，
∴∠OED=90°-∠ABC=60°．
45°≠60°，此種情況不可能出現(xiàn)；
②當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，
∵∠OED=∠FED=60°，
∴∠AEF=60°，
∵∠AFE=90°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=30°．
∵∠BAC=90°-∠ABC=60°，
∴∠FAC=∠BAC-∠EAF=60°-30°=30°．
∵AC=$\sqrt{3}$，
∴CF=AC•tan∠FAC=1，
∴OF=OC-FC=3-1=2．
即此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）；
③當(dāng)∠EAF=90°時(shí)，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAF=∠EAF-∠EAC=90°-60°=30°，
∵AC=$\sqrt{3}$，
∴CF=AC•tan∠FAC=1，
∴OF=OC+CF=3+1=4．
即此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0）．
綜上知：若△AEF為直角三角形．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）、（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、角的計(jì)算以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的計(jì)算以及解直角三角形找出CF的長(zhǎng)度．本題屬于中檔題，難度不大，但在解決該類題型時(shí)，部分同學(xué)往往會(huì)落掉2種情況，只得出F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），因此在平常教學(xué)中應(yīng)多加對(duì)學(xué)生引導(dǎo)，培養(yǎng)他們考慮問題的全面性．