Question

已知關(guān)于x的方程x²-3x+a=0的一個(gè)根和x²-ax+3=0的一個(gè)根互為相反數(shù)，方程x²+ax+b=0與x²+bx+a=0有一個(gè)公共根，β₁、β₂為非公共根，求關(guān)于x的方程ax²+bx-（β₁+β₂）=0的根．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的解,解一元二次方程-因式分解法

專題：

分析：設(shè)m是關(guān)于x的方程x²-3x+a=0的一個(gè)根，則m²-3m+a=0，則-m關(guān)于x的方程x²-ax+3=0的一個(gè)根，分別代入方程相減得3+a）（m+1）=0，根據(jù)3+a≠0，則
m+1=0，求得m的值進(jìn)而求得a的值，代入方程x²+ax+b=0與x²+bx+a=0，求得b的值，然后解這兩個(gè)方程組成的方程組，求得非公共根，即可求得方程ax²+bx-（β₁+β₂）=0的根．

解答：解：設(shè)m是關(guān)于x的方程x²-3x+a=0的一個(gè)根，則m²-3m+a=0，①
∵-m關(guān)于x的方程x²-ax+3=0的一個(gè)根，
∴m²+ma+3=0，②
由②-①，得
（a+3）m+（3+a）=0，即（3+a）（m+1）=0，
∵a≠-3
∴m+1=0，
解得 m=-1
∴a=-4．
設(shè)方程x²+ax+b=0與x²+bx+a=0有一個(gè)公共根為n，則
n²-4n+b=0，③
n²+bn-4=0，④
由④-③，得
（b+4）（n-1）=0，
∵b≠-4，
∴n-1=0
解得n=1．
∴b=3
∴方程為，x²-4x+3=0與x²+3x-4=0，
∴β₁=3或-4，β₂=-4或3，
∴β₁+β₂=-1
∴方程為-4x²+3x+1=0，
即4x²-3x-1=0，
∴（4x+1）（x-1）=0
x₁=-

1

4

，x₂=1．

點(diǎn)評：本題考查了一元一次方程的解、解一元二次方程：因式分解法，以及解方程組，理清方程之間的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．