【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為﹣8、2.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A以AB為起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止,l與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)D,P是AD的中點(diǎn).
①求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程;
②如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE垂直x軸于點(diǎn)E,作DF⊥AC所在直線(xiàn)于點(diǎn)F,連結(jié)PE、PF,在l運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠EPF的大小是否改變?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)EF,求△PEF周長(zhǎng)的最小值.
【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為:y=x2+x﹣6;
(2)①P的運(yùn)動(dòng)路程為;②∠EPF的大小不會(huì)改變,理由見(jiàn)解析;
(3)C△PEF最小值為.
【解析】試題分析:(1)由與軸分別交于A、B兩點(diǎn),且一元二次方程的兩根為-8、2,可得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),即可得到OB的長(zhǎng),又由tan∠ABC=3,得到點(diǎn)C(0,-6),將 A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)中,即可得到二次函數(shù)解析式;
(2)①如圖6.1,當(dāng)l在AB位置時(shí),P即為AB的中點(diǎn)H,當(dāng)l運(yùn)動(dòng)到AC位置時(shí),P即為AC的中點(diǎn)K,故P的運(yùn)動(dòng)路程為△ABC的中位線(xiàn)HK,在Rt△BOC中,由勾股定理得到BC的長(zhǎng),再由三角形中位線(xiàn)定理可得到HK的長(zhǎng),即P的運(yùn)動(dòng)路程;
②∠EPF的大小不會(huì)改變.由于,P為Rt△AED斜邊AD的中點(diǎn),故PE=AD=PA,從而∠PAE=∠PEA=∠EPD,同理有∠PAF=∠PFA=∠DPF,即可得到∠EPF=2∠EAF,故∠EPF的大小不會(huì)改變;
(3)設(shè)△PEF的周長(zhǎng)為C,則=PE+PF+EF=AD+EF,在等腰三角形PEF中,過(guò)P作PG⊥EF于點(diǎn)G,得到∠EPG=∠EPF=∠BAC,由于tan∠BAC=,故tan∠EPG=,得到EG=PE,EF=PE=AD,從而有=AD+EF=AD=AD,又當(dāng)AD⊥BC時(shí),AD最小,此時(shí)最小,由=30,得到AD=,從而得到最小值.
試題解析:(1)∵函數(shù)的圖象與軸分別交于A、B兩點(diǎn),且一元二次方程的兩根為-8、2,∴A(-8,0)、B(2,0),即OB=2,又∵tan∠ABC=3,∴OC=6,即C(0,-6),將 A(-8,0)、B(2,0)代入中,解得: , ,∴二次函數(shù)解析式為: ;
(2)①如圖6.1,當(dāng)l在AB位置時(shí),P即為AB的中點(diǎn)H,當(dāng)l運(yùn)動(dòng)到AC位置時(shí),P即為AC的中點(diǎn)K,∴P的運(yùn)動(dòng)路程為△ABC的中位線(xiàn)HK,∴HK=BC,在Rt△BOC中,OB=2,OC=6,∴BC=,∴HK=,即P的運(yùn)動(dòng)路程為;
②∠EPF的大小不會(huì)改變.理由如下:
∵DE⊥AB,∴在Rt△AED中,P為斜邊AD的中點(diǎn),∴PE=AD=PA,∴∠PAE=∠PEA=∠EPD,同理可得:∠PAF=∠PFA=∠DPF,∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2(∠PAE+∠PAF),即∠EPF=2∠EAF,又∵∠EAF大小不變,∴∠EPF的大小不會(huì)改變;
(3)設(shè)△PEF的周長(zhǎng)為C,則=PE+PF+EF,∵PE=AD,PF=AD,∴=AD+EF,在等腰三角形PEF中,過(guò)P作PG⊥EF于點(diǎn)G,∴∠EPG=∠EPF=∠BAC,∵tan∠BAC=,∴tan∠EPG=,∴EG=PE,EF=PE=AD,∴=AD+EF=AD=AD,又當(dāng)AD⊥BC時(shí),AD最小,此時(shí)最小,∵=30,∴BC·AD=30,∴AD=,∴最小值為: AD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度.線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上,請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖.(保留必要的作圖痕跡,不必寫(xiě)作法)
(1)在圖①中以AB為邊作一個(gè)正方形ABCD;
(2)在圖②中以點(diǎn)A、點(diǎn)B為頂點(diǎn)作一個(gè)面積為12的菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一艘海輪在A點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔C在它的北偏東42°方向上,它沿正東方向航行80海里后到達(dá)B處,此時(shí)燈塔C在它的北偏西55°方向上.
(1)求海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離(結(jié)果精確到0.1);
(2)求海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離(結(jié)果保留整數(shù)).
(參考數(shù)據(jù):sin55°≈0.819,cos55°≈0.574,tan55°≈1.428,tan42°≈0.900,tan35°≈0.700,tan48°≈1.111)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,的對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G為的中點(diǎn),連接,的延長(zhǎng)線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,連接.
(1)求證:;
(2)若,,判斷四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD和正方形OPEF中,邊AD與邊OP重合,,,點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,且.將正方形OPEF以每秒2個(gè)單位的速度向右平移,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí),停止平移.設(shè)平移時(shí)間為t秒.
(1)請(qǐng)求出t的取值范圍;
(2)猜想:正方形OPEF的平移過(guò)程中,OE與NM的位置關(guān)系.并說(shuō)明理由.
(3)連結(jié)DE、BE.當(dāng)的面積等于7時(shí),試求出正方形OPEF的平移時(shí)間t的值.
備用圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一袋中裝有形狀大小都相同的四個(gè)小球,每個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字,分別是1,4,7,8.現(xiàn)規(guī)定從袋中任取一個(gè)小球,對(duì)應(yīng)的數(shù)字作為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù);然后將小球放回袋中并攪拌均勻,再任取一個(gè)小球,對(duì)應(yīng)的數(shù)字作為這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù).
(1)寫(xiě)出按上述規(guī)定得到所有可能的兩位數(shù);
(2)從這些兩位數(shù)中任取一個(gè),求其算術(shù)平方根大于4且小于7的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,6),且與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)求k,b的值;
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式kx+b﹣3x>0的解集;
(3)M為射線(xiàn)CB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)交y=3x于點(diǎn)N,當(dāng)MN=OD時(shí),求M點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的袋中裝有3個(gè)綠球,5個(gè)紅球和若干白球,它們除顏色外其他都相同,將球攪勻,從中任意摸出一個(gè)球.
(1)若袋內(nèi)有4個(gè)白球,從中任意摸出一個(gè)球,是綠球的概率為 ,是紅球的概率為 ,是白球的概率為 .
(2)如果任意摸出一個(gè)球是綠球的概率是,求袋中有幾個(gè)白球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,.
(1)將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形,
(2)并寫(xiě)出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)______;點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)_______;
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出:以、、為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)______.
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