Question

16．如圖，將邊長為2的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD上，落點(diǎn)記為E（不與點(diǎn)C，D重合），點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．
（1）若$\frac{CE}{CD}=\frac{1}{2}$，
①求出BN的長；
②求$\frac{AM}{BN}$的值；
（2）若$\frac{CE}{CD}=\frac{1}{n}$（n≥2，且n為整數(shù)）則$\frac{AM}{BN}$的值是多少（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）先求出CE=1，再求出BN，然后判斷出△DQE∽△CEN，得出比例式，求出AM，即可；
（2）根據(jù)勾股定理得，EN²=NC²+CE² 求出BN，然后AM=BH=BN-NH=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$，即可．

解答 解：（1）①∵沿MN折疊B和E重合，
∴BN=NE，
∵$\frac{CE}{DC}=\frac{1}{2}$，CD=2，
∴CE=1，
設(shè)BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=1²+（2-x）²
x=$\frac{5}{4}$，BN=NE=$\frac{5}{4}$，
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴$\frac{CE}{DQ}=\frac{EN}{QE}=\frac{CN}{DE}$，
∴$\frac{1}{DQ}=\frac{{\frac{5}{4}}}{QE}=\frac{{2-\frac{5}{4}}}{2-1}$，
∴DQ=$\frac{4}{3}$，EQ=$\frac{5}{3}$，
∵折疊A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
∴（2-$\frac{4}{3}$-AM）²=AM²+（2-$\frac{5}{3}$ ）²，
∴AM=$\frac{1}{4}$，
∵BN=NE=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{1}{5}$；
（2）不妨令CD=CB=n，
∴CE=1，
設(shè)BN=x，
∴EN=x，
根據(jù)勾股定理得，EN²=NC²+CE²，
∴x²=（n-x）²+1²，
∴x=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$，
作MH⊥BC于H，
∴MH=BC，
∵點(diǎn)B，E關(guān)于MN對稱，
∴MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
∵∠NMH+∠BNM=90°，
∴∠EBC=∠NMH，
∴△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，解本題的關(guān)鍵是利用用n表示線段．