Question

12．如圖，已知△ABC內接于⊙O，點I是△ABC的內心，AI的延長線交BC于點E，交⊙O于點D．
求證：DB=DI=DC．

Answer 1

分析 連接BI，CI，要證明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根據(jù)角平分線的性質即可得到結論．

解答 證明：∵點I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴CD=BD，
∴DB=DC=DI．

點評 本題考查的是三角形的內切圓與內心，根據(jù)題意作出輔助線，構造出等腰三角形是解答此題的關鍵．