Question

1．如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，若AB=2，點E是BC邊上一動點，∠EAF=60°，AF交CD于點F
（1）探究線段AE、AF的數(shù)量關系，并寫出解答過程；
（2）當點E運動到什么位置時，△AEF的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得△AEF是等邊三角形即可；
（3）由垂線段最短可知：當AE⊥BC時，AE有最小值，然后由特殊銳角三角函數(shù)值可求得AE的長，即可得出結果．

解答 解：（1）AE=AF，理由如下：
連接AC．如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
∴∠B=∠ACF=60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD．
∴∠AEB=∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}&{\;}\\{∠AEB=∠AFC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE=AF．
（3）由垂線段最短可知：當AE⊥BC時，AE有最小值．
∵AE=AF．∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
∵AE⊥BC，∠B=60°，
∴AE=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，此時△AEF的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
當AE⊥BC時，△AEF的面積最小，最小面積是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角函數(shù)等知識；熟練掌握菱形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．