Question

在△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、BC為邊向外作正方形ADEB和正方形BCFH．
（1）當BC=a時，正方形BCFH的周長=

 

（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）連接CE．試說明：三角形BEC的面積等于正方形BCFH面積的一半．
（3）已知AC=BC=1，且點P是線段DE上的動點，點Q是線段BC上的動點，當P點和Q點在移動過程中，△APQ的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）直接由正方形的性質(zhì)得出答案即可；
（2）連接AH，證明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面積=△BCE的面積得出結(jié)論；
（3）作點A關于DE的對稱點A′，點A關于BC的對稱點F，利用對稱的性質(zhì)得出△APQ的周長的最小值為A′F，進一步求得問題即可．

解答：解：（1）4a；

（2）如圖，

連接AH，
在△BHA和△BCE中，

AB=BE ∠CBE=∠ABH BC=BH

 
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∴△BHA的面積=△BCE的面積=

1

2

正方形BCFH的面積；

（3），△APQ的周長存在最小值．
如圖，

作點A關于DE的對稱點A′，
∴AP=A′P，
點A關于BC的對稱點F，
AQ=QF，
∴△APQ的周長的最小值為A′F，
過A′作A′M⊥FA交FA的延長線于M，
△AA′M為等腰直角三角形，
AA′=2

2

，
∴MA=MA′=2，
∴MF=4，
A′F=

20

，
∴△APQ的周長的最小值為

20

．

點評：此題綜合考查正方形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，勾股定理的運用以及利用對稱性求最短距離的問題，注意輔助線的作法．