Question

【題目】直線(xiàn)與雙線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，為第三象限內(nèi)一點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)為．

①______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

②不等式的解集為______．

③當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求、之間的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）①-2，；②或；③；（2）mn=18

【解析】

（1）①直接把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出a；

由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②結(jié)合圖象可得求即為求使得直線(xiàn)在雙曲線(xiàn)上方時(shí)自變量x的取值范圍；

③連接CO，作AD⊥y軸于D點(diǎn)，作CE垂直y軸于E點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半和互余關(guān)系，可證得△ADO≌△OEC，由A點(diǎn)的坐標(biāo)可得CE=OD=3，EO=DA=2，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接CO，作AD⊥y軸于D點(diǎn)，作CE垂直y軸于E點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠ACO=30°，可證明△ADO∽△OEC，由相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可用m、n表示出A點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可得到m、n間關(guān)系.

解：（1）①∵A(a,3)在雙曲線(xiàn)上，

∴，

∴a=-2；

∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線(xiàn)上和雙曲線(xiàn)上，

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∵A(-2,3)，

∴B(2,-3).

故答案為：-2，；

②由圖象可知直線(xiàn)在雙曲線(xiàn)上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍為：或，

故的解集為或；

③如圖，連接，作軸于，軸.

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在與中

（AAS）.

∴，，

∵，

∴，，

∴；

（2）連接CO，作AD⊥y軸于D點(diǎn)，作CE⊥y軸于E點(diǎn)，

∵反比例函數(shù)和正比例函數(shù)都是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它們都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴OA=OB，

又∵△ABC為等邊三角形，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵∠AOD+∠DAO=90°，∠COE+∠BOE=90°，∠DOA=∠BOE，

∴∠DAO=∠COE，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

由于∠ACO=30°，

，

因?yàn)?/span>C的坐標(biāo)為(m, n)，

所以CE=-m，OE=-n，

∴AD=，OD=，

所以A(,).

代入中，

得mn=18.