Question

【題目】在平面直角坐標系中，第1個正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A1，作第2個正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作第3個正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進行下去，第2011個正方形的面積為（　�。�

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先根據兩對對應角相等的三角形相似，證明△AOD和△A1BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長等于正方形ABCD邊長的 ，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的，然后即可求出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系，從而求出第2011個正方形的面積．

解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
又∵∠DOA=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
在△AOD和△A1BA中，，
∴△AOD∽△A1BA，
∴OD：AO=AB：A1B=2，
∴BC=2A1B，
∴A1C=BC，
以此類推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，…，
即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的倍，
∴第2011個正方形的邊長為（）2010BC，
∵A的坐標為（1，0），D點坐標為（0，2），
∴BC=AD==，
∴第2011個正方形的面積為[（ ）2010BC]2=5（ ）4020．
故選：D．