Question

【題目】如圖，已知拋物線的方程C1：（m＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．

（1）若拋物線C1過點(diǎn)M（2, 2），求實(shí)數(shù)m的值；

（2）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH＋EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（1，）；（3）存在，m=．

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)（2，2）的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得m的值；（2）根據(jù)軸對(duì)稱以及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，可知點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，連接EC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的H點(diǎn)，如答圖2所示；（3）本問需分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)△BEC∽△BCF時(shí)，如答圖3所示．此時(shí)可求得m=2+2；②當(dāng)△BEC∽△FCB時(shí)，如答圖4所示．此時(shí)可以得到矛盾的等式，故此種情形不存在．

試題解析：（1）將M（2，2）代入，得．解得m＝4；

（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最小，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么．因此．解得．所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）；

（3）①如圖3，過點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當(dāng)，即時(shí)，△BCE∽△FBC．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′（m＋2, 0）．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．

②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時(shí)，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m=．