Question

【題目】已知：在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．D是平面上一點(diǎn)，連結(jié)BD．將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連結(jié)AE，CD．

（1）在圖1中補(bǔ)全圖形，并證明：AE⊥CD．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜測(cè)線段AD，CE，AB，BD之間的數(shù)量關(guān)系．

（3）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)AD，DF，BF．若AB=11，BD=7，AD=14，求線段DF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）DF=12

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=90°，BD=BE，進(jìn)而可得∠ABE=∠CBD，即可證明△ABE≌△CBD，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠EAB=∠DCB．在△AMB和△CMN，根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理即可得到∠CNM=90°，即可得出結(jié)論；

（2）連接ED．在Rt△CNE、Rt△AND、Rt△ANC、Rt△DNE中，分別利用勾股定理即可得出結(jié)論．

（3）延長(zhǎng)EB到G．由A和F關(guān)于直線BE對(duì)稱，得到∠ABG=∠FBG，AB=BF，進(jìn)而得到BC=BF．根據(jù)鄧嬌的余角相等得到∠CBE=∠FBD，即可證明△CBE≌△FBD，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到CE=FD．由（2）的結(jié)論可求出CE的長(zhǎng)，等量代換即可得出結(jié)論．

（1）作圖見(jiàn)圖1．

∵將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 得到線段BE，

∴∠DBE=90°，BD=BE．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBD．

在△ABE和△CBD中，∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD，

∴△ABE≌△CBD，

∴∠EAB=∠DCB．

∵∠AMB=∠CMN，

∴∠CNM=∠ABM=90°，

∴AE⊥CD；

（2）．理由如下：

連接ED，如圖2．

∵AE⊥CD，

∴，，

∴．

∵，，

∴．

∵，，

∴．

（3）延長(zhǎng)EB到G，如圖3．

∵A和F關(guān)于直線BE對(duì)稱，

∴∠ABG=∠FBG，AB=BF．

∵AB=BC，

∴BC=BF．

∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABG+∠CBE=90°，∠FBG+∠FBD=90°，

∴∠CBE=∠FBD．

在△CBE和△FBD中，∵CB=FB，∠CBE=∠FBD，BE=BD，

∴△CBE≌△FBD，

∴CE=FD．

由（2）可知：，

∴，

∴CE=12，

∴DF=CE=12．